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Secondo quanto prima si disse, ogni sistema | C 0 1 = | A 0 -{- B 0 1 di r 

 contiene parzialmente ogni | A | ; ed i residui riempiono un sistema 2 t , di oo«' 

 sistemi lineari. L'insieme r contiene dunque parzialmente tutti i sistemi 

 lineari di e poiché i residui di un qualunque |B, | di 2 0 , rispetto agli oo? r 

 sistemi |C| di r, sono oo?' distinti, essi riempion tutto il sistema com- 

 pleto (A). Insomma, gli elementi di r non si ottengono soltanto aggiun- 

 gendo al sistema |B 0 !, da cui partimmo, i singoli |A|; ma anche aggiun- 

 gendo a questi un altro qualunque sistema I B, | di 2 t . 



Da quanto precede si trae che r è perfettamente definito, entro la va- 

 rietà (C) , da uno qualunque de' suoi sistemi lineari, e che perciò, al variare 

 di |B 0 | entro (B), r o 2 0 , i quali come totalità di oo?' elementi son bira- 

 zionalmente identici ad (A) , descrivono rispettivamente, in (C) ed in (B), 

 due sistemi di co?-?' varietà di dimensioue q' , che non hanno a due a due 

 alcun elemento comune. 



Si conclude pertanto che la picardiana Y q contiene un sistema co2-2 r 

 d'indice 1, di varietà W q ', birazional mente identiche ad (A). 11 gruppo 

 continuo permutabile G ? , appartenente a V q , non può che mutare in sè il 

 suddetto sistema, chè altrimenti esso avrebbe il grado > 0 . 



Ne deriva che una W q > è lasciata ferma da oo?' trasformazioni di G q , 

 formanti entro G q un sottograppo algebrico G q ' . Ed è noto che ciò equivale 

 ad affermare che V g ed F ammettono un sistema di q' integrali semplici 

 di 1* specie con 2q' periodi ridotti ('), i quali corrispondono agli integrali 

 relativi alla picardiana (A). 



Si arriva così al teorema : 



Una superficie d' irregolarità q^>0, la quale contenga un sistema 

 irriducibile completo, formato da co q ' (0<Cq'<Cq) sistemi lineari, pos- 

 siede in conseguenza q' integrali riducibili di l a specie con 2q' periodi 

 ridotti. 



Un corollario immediato, che vale la pena di notare, è il seguente: 

 Sopra una superficie d'irregolarità q, priva d' integrali riducibili 

 semplici di l a specie, e, a fortiori, sopra una superficie la cui varietà 

 picardiana sia a moduli generali, ogni sistema completo non lineare, di 

 sistemi lineari, consta di oo? sistemi lineari distinti. 



Con che naturalmente non si esclude che la data superficie F possa 

 contenere sistemi lineari, non appartenenti a sistemi continui più ampi. 

 Anzi, come ho dimostrato altrove ( 2 ), sopra ogni superficie esistono sistemi 

 lineari siffatti. È poi superfluo aggiungere che la F può inoltre contenere 



(') Castelnuovo, loc. cit., nn. 8, 10-13. 



(') Sulla regolarità del sistema aggiunto ad un sistema lineare di curve apparte- 

 nente ad una superficie algebrica. [[Questi Kendiconti, (5), tomo 17, 1908, pag. 467]. 



