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Se quindi introduciamo nelle nostre considerazioni lo spazio lineare a 

 quattro dimensioni in cui t e le coordinate cartesiane x , y , z dello spazio or- 

 dinario indicano le coordinate di un punto ; chiamiamo (X , T , Z) , (U , V , W) , 

 (u , v , w) le componenti dei tre vettori £ , U e c e con (gp, , y> 2 , <p 3 ) , 

 [xjj x , %p 2 , ip s ) le componenti dei due vettori 3c, e Iti ; dinotiamo con <r 3 una 

 varietà regolare, chiusa, a tre dimensioni dello spazio (x , y , z , t) limitante 

 la regione S 4 all'interno della quale le fuzioni X , Y , ... , W ; g> 1 ,<p 2 , ••■ V» ; 

 u,v,w sono regolari, potremo scrivere un teorema di reciprocità, per le (1'), 

 nello spazio stesso (x , y , z , t)„ sótto la forma 



(4) f [X «*, + Y«P, + Z3», — (Ud>, + V#3 + W4> 3 )] do z — 

 ' -j- vipt + wip 3 ) dS 4 = 0. 



47T 



Ed è, in questa equazione, 



(5) 



= <pj cos -j" ~ (v* cos w * — ^3 cos n y) ' 



«p, ss 1/^ cos nt — — (92 cos nz — g> 3 cos ray) , 

 A* 



» essendo la normale a <r z diretta verso l'interno di S 4 , mentre d> 2 , <P 3 

 e *P 2 , *P 3 si deducono, rispettivamente, da <P, e *Pj con permutazioni circo- 

 lari di x , , z ; , g>s> , g> 3 ; , xp» , i/> 3 . Chiameremo , <P 8 , ... , *P 3 le 

 funzioni associate a <p l , <p 2 , •■• , t/> 3 . 



3. Nel seguito le coordinate di un punto variabile nel nostro spazio a 

 quattro dimensioni saranno indicate con £ , 17 , £ , t , mentre chiameremo 

 x ,y ,z ,t le coordinate di un punto fisso dello stesso spazio. Tenendo conto 

 di ciò, si prova immediatamente che si può porre 



