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Si consideri ora la proiezione ortogonale della superficie sullo S„_, 

 osculatore, e si calcoli la curvatura gaussiana di essa nell'origine, K\ Si 

 trova subito ch'essa differisce da K solo per il sottraendo: e precisamente 



Si ha quindi 



= K'—K 



, i/ì _L_ SfaW) 1 



*n— 3 



E facile interpretare il 2° fattore a secondo membro. Le equazioni del piano 

 tangente alla superficie nell'origine sono 



ti =z? l) y 0 = 1 ,...,» — 3) 



2 = j 



quindi l'inverso di quel fattore è uguale al coseno dell'angolo cu del piano 

 tangente con la (n — 2)-esima normale. Quindi : 



COS O) 



Qn-Ì 



= =tf IT — K 



La (n — \)-esima curvatura di una quasi- asintotica in un punto, 

 moltiplicata per il coseno dell'angolo che la (n — 2)-esima normale prin- 

 cipale forma col piano ivi tangente alla superficie^ è uguale alla radice 

 quadrata della differenza fra la curvatura gaussiana della proiezione 

 normale della superficie sullo S„_, osculatore alla curva e la curvatura 

 gaussiana della superficie stessa nel punto considerato. 



9. fi teorema così enunciato contiene quello di Enneper; infatti si ha, 

 in esso. a> = 0 (angolo della normale principale col piano tangente) e K'= 0 

 (considerando il piano tangente come proiezione normale della superficie su 

 di esso): quindi \/Q 2 = y — K. Però questa deduzione non è valida per 

 dimostrazione, esigendo questa che sia n ^> 3 . 



Ognuna delle espressioni date di l/Q n -i (nn. 7 e 8) ha i propri van- 

 taggi : la prima non richiede se non la considerazione della curvatura gaus- 

 siana di una superfìcie in S 3 ; la seconda richiede invece nozioni un poco 

 più elevate, ma in compenso è più semplice ad enunciarsi e mostra inoltre 

 che | cos | ha lo stesso valore per le due quasi-asintotiche che hanno 

 in un punto comune lo stesso iperpiano osculatore 



(*) II teorema di Enneper vale per le superficie a punti planari parabolici, che 

 posseggono cioè un sistema semplice di asintotiche (v. Levi, loc. cit., n. 50): il che è 

 quasi evidente, e non c'informa affatto sulla natura di una superficie generale (proietti- 

 vamente) nel suo spazio, essendo quelle superficie del tutto eccezionali. 



Le quasi-asintotiche costituiscono invece, anche dal punto di vista metrico, la na- 

 turale estensione delle asintotiche. 



