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Perchè le inverse siano concentriche basta che il centro di inversione 

 sia in uno dei punti H e K della congiungente i centri: 



_ ri — ri + j/ [>! — jj? + 8g» [2c* — rf — rjj 

 x B j~ c t/ H — 0 , 



_ rj — rl — j/[rì— r|]' + Se 2 [2c 2 — ri — rf] 

 X K — ^ ì/k — 0, 



che separano armonicamente le coppie di punti [Ai , B,] , [A 2 , B 2 ] inter- 

 sezioni della congiungente con ciascuna delle circonferenze. Tali punti H 

 e K sono certo reali perchè per ipotesi [A! , BQ , [A 2 , BJ non si separano, 

 K è interno ad entrambe le circonferenze, H è esterno ad entrambe. 



Le equazioni delle circonferenze inverse delle date rispetto al cerchio 

 di raggio unitario e centro K, che assumo come origine, sono 



j (x-a) 2 + y 2 = RÌ 



se 



6 Xv 



a = 



(III) 



c 2 -f- xl — 2cx R — r\ 

 1 



Rf = a 2 — 



c 2 + #k + 2cx K — rf 2 c 2 -\-xl — 2cx K — r\ ' 



E quindi si vede che l'espressione: 



1 2ax ... 



-{- a 2 = a' 



x * y* x 2 -\-y 2 x 2 -\- y 



[dove a , Ri , R 2 hanno i valori (III)] è costante sui due cerchi primitivi, 

 e precisamente è eguale a R| sul primo, ad R 2 sul secondo. 

 Se i cerchi dati fossero concentrici 



c = x K =a = 0 , Xu = cc , J = - r ^ 7 , R! = ^ , R 2 2 = ~| 



Tornando ora al problema che voglio risolvere [prendo come asse z 

 l'asse parallelo alle generatrici del cilindro luogo dei punti K delle sezioni 



normali] basta che determini una funzione biarmonica <P tale che 



~òx ~ìy 



regolari in tutto il corpo siano costanti per J = Rf , J = Rf ed una fun- 

 zione armonica q tale che — sia regolare, mentre: 



ì>y 



, . À , l 4K(L + K ) , y 



— — = funzione monodroma 4- T , nTr artg — , 



~ìx 2n L -j- 2K x 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 76 



