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delle singolarità delle curve, sia dal punto di vista algebrico- aritmetico, 

 sia da quello del calcolo differenziale. Una esposizione diffusa della teoria 

 così disegnata si troverà nel secondo volume delle nostre Lezioni sulla teoria 

 geometrica delle equazioni, redatto con la valida collaborazione del dottor 

 Oscar Chisini; qui ci proponiamo di indicare rapidamente i concetti fonda- 

 mentali della trattazione e i principali resultati che ne conseguono. 



2. Osserviamo anzitutto che, nel caso di singolarità costituite di rami 

 lineari, una definizione diretta dei punti infinitamente vicini che la compon- 

 gono viene pòrta semplicemente dai contatti dei singoli rami ; ma, nel caso 

 dei rami superlineari, occorre considerare, oltre tali contatti, anche i punti 

 multipli successivi appartenenti ad un ramo. La determinazione di questi è 

 stata raggiunta dal Nother mediante trasformazioni quadratiche, nella Nota 

 Les combinaisons caractéristiques dans la trans formation d'un point sin- 

 gulier (*); ma per il nostro scopo deve essere nuovamente guadagnata, ri- 

 prendendo l'analisi di Halphen relativa alle intersezioni di due rami. 



Si abbiano i due rami d'ordine v , n : 



v + v' v-l-v'-t-v" 



(1) y = ax J r bx^-\-cx v -j — • 



+ M- ■+■ - V-" 



(2) z = ax-\-b'x v +c'x 11 



(b ={= 0 , c 4= 0 . - . , b' 4= 0 , c' 4= 0 . : .) , 



dei quali si cerca il numero delle intersezioni assorbite nell'origine. Consi- 

 deriamo i v valori di y: y x y z . .y^; e i ft valori di z: z 1 z 2 .,. Zu. , e for- 

 miamo lo sviluppo in serie del prodotto 



che riesce razionale in a;. Il numero che si cerca vien dato dal minimo 

 esponente a cui figura la x in codesto sviluppo. Si trova così . che, per 



il numero delle intersezioni dei due rami (1) e (2) è uguale al più piccolo 

 dei due numeri 



flV -\- fiv , [XV -\- fi'v . 

 Questa formula vale anche nel caso b = b', salvo che sia contemporaneamente 



V fi' 



uv' = a'v , cioè — = — ; 

 ^ v fi 



(') Circolo matematico di Palermo, tomo IV, pag. 89 (1890). 



