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struttura della singolarità verrà pienamente rappresentata, con una opportuna 

 sovrapposizione degli schemi grafici dei singoli rami, da un diagramma, che 

 può essere denominato albero della singolarità; il quale pone in evidenza 

 le molteplicità e le posizioni dei punti infinitamente vicini che costituiscono 

 la singolarità, in ispecie la distinzione fra i punti liberi e i punti satelliti 

 e i diversi aggruppamenti di questi. 



La conoscenza di tali molteplicità e posizioni vale a determinare la se- 

 parazione dei rami, giacché il passaggio di f per punti satelliti traduce in 

 altra forma la circostanza che ai punti multipli condensati nella singolarità 

 si aggiungono anche dei punti di diramazione. Perciò è lecito dire che 

 una qualsiasi singolarità è definita completamente dalle molteplicità della 

 curva in un gruppo di punti infinitamente vicini, tenuto conto delle po- 

 sizioni di questi. 



4. La teoria, così disegnata dal punto di vista aritmetico, deve essere 

 completata con lo studio delle condizioni differenziali che caratterizzano 

 il passaggio d'una curva per punti infinitamente vicini, e le relative mol- 

 teplicità (')• Qui in particolare si fornirà la prova diretta che i punti im- 



r ir -4- 1 ) 



proprii di molteplicità r impongono, come i punti proprii, condi- 



zioni lineari ai coefficienti d'una curva f che debba contenerli. 



Per scrivere le accennate condizioni differenziali, caratterizzanti i punti 

 — semplici o multipli — infinitamente vicini all'origine, occorre anzitutto 

 possedere X espressione generale delle derivate successive d'una funzione 

 composta f(x,y), ove x = <p{t) e y = ip(t) . Le formule di cui si discorre 

 costituiscono una generalizzazione di quelle adoperate dallo Stolz (*) nel pro- 

 blema della separazione dei rami, limitatamente al caso dei rami lineari. 

 Ma, anziché proseguire il procedimento dello Stolz, noi siamo pervenuti allo 

 scopo trattando questa questione di calcolo differenziale in rapporto alla 

 teoria generale dolle operazioni : questa via ha il vantaggio di mostrare in 

 qualche modo a priori la natura delle formule ricercate; lo sviluppo dei 

 calcoli riesce necessario soltanto per la determinazione dei coefficienti nume- 

 rici che vi figurano. 



Or dunque osserviamo che la derivata w-ma della funzione composta 

 f(x,y(x)) nasce applicando ad / la potenza «-ma dell'operazione indicata 

 dal simbolo 



(') [1 concetto di tali condizioni fu da noi accennato, e svolto in rapporto a casi 

 particolari, fino dalle nostre lezioni dell'anno 1897-98 (cfr. il Programma pubblicato nel 

 fascicolo di aprile 1889 del Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche). 



(') Math. Annalen, Bd. Vili, pag. 415 (1875). 



