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le operazioni che figurano come addendi entro il simbolo 4 n - non sono per- 

 mutabili, ma dànno luogo ad una quasi-permutabilità: cioè sono permuta- 

 bili a meno d' un fattore numerico che dipende dall'espressione a cui si sup- 

 pongono applicate. Da queste proprietà segue che lo sviluppo di — o» 

 ugualmente, di J%f (con m^>n) — si può ottenere mediante le formule 

 che valgono ad esprimere la potenza d'un polinomio, salvo a modificare op- 

 portunamente i coefficienti numerici che in questo sviluppo figurano. Ana- 

 loghe formule si otterranno per le derivate successive di /, ove x e y sieno 

 funzioni di un parametro t . 



Ciò posto, si possono scrivere facilmente le condizioni differenziali che 

 caratterizzano i punti multipli infinitamente vicini d' una curva /. Se il 

 punto proprio 0 = {ab) deve avere per / la molteplicità r , si hanno, come 



osservò già il De Gua, le — - condizioni 



— r — 1 = 0 . i = h-\-k<lr {x = a l y = b) 



che si possono anche scrivere 



f = <f= « . |f|<, -^=" 



Le condizioni perchè la f possegga un punto di molteplicità s nel 

 punto 0, , vicino ad 0 nella direzione y , si lasciano esprimere in modo af- 

 fatto analogo, venendo date da 



jr+s-l /' = 0 . 



Così analogamente si scrivono le condizioni perchè la f possegga dati 

 punti multipli succedentisi sopra rami lineari, cioè punti multipli (o sem- 

 plici) liberi, determinati mediante coordinate che sono derivate successive 

 della funzione implicita y(x). 



