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In qua) modo si esprimerà il passaggio e la molteplicità di f per punti 

 satelliti di qualche punto libero, cioè le singolarità elementari onde resulta 

 la singolarità di f nel caso di rami superlineari ? Si tratti, per esempio, di 

 caratterizzare il ■passaggio di f per punti satelliti del punto s-plo 0,: 

 questo passaggio viene caratterizzato dalle molteplicità della radice y' per 

 le equazioni J^f=0 , J^ 1 f= 0 , . . . Ji^ s ~ x f '= 0 , quando la prima 

 molteplicità sia ^>s. Così, per esempio, se la y' è radice multipla d'ordine 

 2s per Jif=0, d'ordine 2s — 2 per Jì +1 f=0,... e d'ordine 2 per 

 jr+s-) = o , la / (avente già in 0 la molteplicità r) passerà per 0, con la 

 molteplicità s, e ancora con la molteplicità s per il primo punto satellite 

 di 0! che viene definito sui rami di second'ordine per 0 Oi . 



In generale, per determinare le molteplicità della curva / nei punti sa- 

 telliti di 0, , si figureranno coi punti di coordinate intere {il), sopra sile- 

 ni 



cessive linee orizzontali, le condizioni — r, ^\ "*"'/"= 0. che designano la 



molteplicità della radice y' per l'equazione j{ +i f= 0 , e quindi si separe- 

 ranno in tanti gruppi triangolari le condizioni che rispondono ai diversi punti 

 satelliti di Oi . Questa separazione si compie facilmente mediante un oppor- 

 tuno diagramma ; e, operando con questo, si vede nascere ['albero della sin- 

 golarità, a cui si è poc'anzi accennato. 



Aggiungeremo che l' indicato diagramma sta in una semplice relazione 

 col noto diagramma di Newton che serve alla separazione dei rami mercè 

 il calcolo degli ordini d' infinitesimo : e così questo classico metodo appare 

 in una nuova luce, venendo collegato ad un procedimento più espressivo 

 che porge l'analisi completa della singolarità negli elementi che la costi- 

 tuiscono. 



5. Il carattere riassuntivo di questa Nota non ci consente di trattenerci 

 sulle applicazioni della teoria qui rapidamente abbozzata. Tuttavia vogliamo 

 accennare ad un problema che non sembra essere stato trattato per lo in- 

 nanzi in una forma generale. S' imponga ad una curva /, d'ordine abbastanza 

 elevato, di passare — con certe molteplicità virtuali assegnate — per dati 

 punti infinitamente succedentisi sopra un ramo superlineare ; allora accade 

 che le molteplicità effettive della f risultino diverse dalle virtuali, almeno 

 quando non sieno soddisfatte certe condizioni di diseguaglianza. Il nostro 

 problema ha per oggetto di determinare le molteplicità effettive di f in 

 funzione delle suddette molteplicità virtuali. 



Della risoluzione di codesto problema si può indicare un'applicazione 

 interessante, cioè il calcolo delle molteplicità effettive delle curve polari 

 nei punti infinitamente vicini che costituiscono una singolarità di /. 



