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varietà un ufficio analogo a quelli noti per le superficie di S 3 , e poi esten- 

 dere ad essi le proprietà note ('). 



Questo piano di ricerca porta generalmente a passare ad intorni di un 

 punto di ordine più elevato che quelli occorrenti in S 3 ; in senso metrico, 

 ad occuparsi di curvature d'ordine abbastanza alto. 



Ma, siccome parlare di proprietà di un ente non ha senso se non quando 

 si sia fissato il gruppo rispetto al quale si considera, è naturale che si sia 

 portati ad esaminare gruppi diversi da quelli classici per lo studio delle 

 superficie in S 3 (gruppo delle rappresentazioni conformi, dell'applicabilità o 

 delle deformazioni per flessione, dei movimenti) : gruppi che, al pari degli 

 elementi su cui operano, possono non esistere in S 3 . 



2. Le superficie (V 2 ) di S n (u > 3) sono state studiate, rispetto al 

 gruppo dei movimenti, dal prof. E. E. Levi ( 2 ): un sistema di forme a più 

 variabili prende il posto delle due classiche forme quadratiche fondamentali; 

 gli invarianti assoluti della superficie sono gli invarianti simultanei di questo 

 sistema di forme. 



Io mi occupo qui delle superficie rispetto a quel gruppo di trasforma- 

 zioni (che dirò deformazioni di specie v) che lasciano invariati l'elemento 

 lineare e le prime v — 1 curvature di tutte le curve della superficie ( 3 ): 

 si intende che la dimensione dell'ambiente deve essere abbastanza alta perchè 

 questo nuovo gruppo non coincida con quello dei movimenti. 



3. Siccome due superficie equivalenti rispetto al gruppo sono per lo 

 meno applicabili (r_> 1), sarà fissata (nel caso generico) la corrispondenza 

 fra i loro punti dall'uguaglianza della curvatura e di un suo parametro 

 differenziale ; quindi potremo sempre supporre che a punti corrispondenti si 

 siano già date le stesse coordinate curvilinee u , v . 



4. Per prepararci all'esame del caso generale, vediamo se esistano curve 

 di una superficie che in una determinata flessione conservino la loro prima 

 curvatura. 



(') Vedasi per es. una mia Nota recente: Analisi metrica delle quasi-asintotiche 

 sulle superficie degli iperspazi (questi Rendiconti, 1° semestre 1916), ove trovarci altre 

 citazioni. 



( 2 ) Saggio sulla teoria ielle superficie a due dimensioni immerse in un iperspazio 

 (Annali della R. Scuola Norm Sup. di Pisa, voi. IX), che citerò con «Tesi». È questo 

 l'unico lavoro organico sulle superficie degli iperspazi. Oltre alla ricerca degli invarianti 

 atti a determinare l i superficie nel gruppo dei movimenti, esso contiene l'estensione a 

 curvature d'ordine qualsiasi di una curva di una V m del teorema di Meusnicr e l'inter- 

 pretazione geometrica degli invarianti assoluti; poi alcune cose, meno interessanti, sulle 

 superficie minime. 



( 3 ) Ho già esposto alcuni resultati, in questo indirizzo, nella Nota Problemi nuovi 

 di geometria metrico-differenziale (questi Rendiconti, voi. XXIV, serie 5 a , 1° sem. 1915, 

 fase. 12). 



