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Siano le Xi(u , v) le coordinate cartesiane ortogonali di un punto della 

 superficie di partenza; Xi{u , v) quelle del punto corrispondente sulla defor- 

 mata. S'individua una curva su di esse ponendo u = u(t) , v = v(t); la 

 prima curvatura in un suo punto si ha da 



l/<? 



ove 



M 2 = 



,.(10) 



~è 



x (hk) __ 



(e = 1 , ... , n) 



F_ T t _ \r~ ~ò%j 



— mooi — iono — ; 



fi 7) a 7>u 



« à è l'elemento d'arco; siccome le due superficie si suppongono applica- 

 bili, basta confrontare M 2 su di esse. Questo determinante è del tipo AC — B*, 

 ove A è la solita forma quadratica fondamentale 



Ew' l -f-2Fw.V + Gy' 2 , 

 già supposta invariante, con 



E = limo = Y . ( ~ ) , 



G = I0101 = 5" V \l • 



— ' \T)V r 



Poniamo in generale 



f xf k) xl lm > — J mm = l lmhH = \_hklm] = [Imhlc] (') ; 

 1 



si vede subito che in B entrano come coefficienti di u' , 1' i simboli 

 [1020] , [0120] , [1002] , [0102] , [1011] , [Olii] 



i quali, si verifica subito, sono esprimibili mediante le derivate prime di 

 E , F , G , quindi invarianti nella flessione. I coefficienti di u" , v" in B 

 sono E , F , G stesse. 



Esaminiamo C . I coefficienti dei termini quadratici in u" , v r sono E , 

 P , G ; i coefficienti dei termini lineari in u" , v' si esprimono coi simboli 

 precedenti; infine 1 termini in u' , v soltanto figurano nella forma 



[2020] u'* + 4 [20 1 1] u' 3 v' + 2 j 2 [1 1 1 1] -f- [2002] \ u' 2 v' 2 + 

 -{- 4[0211] u' y' 3 + [0202] v' 4 . 



(') La notazione con gli I è del Levi (loc. cit.): mi servo dell'altra perchè è tipo- 

 graficamente più economica, e uso la parentesi quadra per non far nascere confusione 

 coi simboli di Riemann. 



