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È chiaro che 1' uguaglianza della curvatura in punti corrispondenti delle 

 due curve si traduce nell' uguaglianza di questa forma con l'analoga costruita 

 per la superficie trasformata; alla forma precedente si può sostituire l'altra 



[2020] u 4 + 4[2011]u'V + 6[2002] z/V 2 + 4[U02] u' v' z +[9202] v' 4 



perchè 



£[i 101] - A [2001] = J [1110] - ± [0210] = [1 1 1 1] -[2002]. 



Quindi esistono, per ogni punto, quattro curve che conservano la prima 

 curvatura in una flessione assegnata della superficie; a meno che non con- 

 servino la prima curvatura tutte le curve della superficie, nel qual caso sono 

 invarianti tutti i simboli 



[2020] , [2011] , [2002] , [1102] , [0202]. 



In S 3 1- invarianza di questi simboli porta, com'era prevedibile, ai movimenti 

 della superficie; ma negli spazi superiori esistono effettivamente queste de- 

 formazioni noa ridotte a movimenti. 



5. Cerchiamo le condizioni per una deformazioue di specie v. Richia- 

 miamo alcune definizioni e proprietà dei simboli \]%klm\ ('). Si dice ordine 

 del simbolo il maggiore dei due numeri h + k , L -\- m (è l'ordine massimo 

 delle derivate che vi figurano). Si dice che un simbolo è principale se per 

 esso si ha h + k = l + m ; gli altri simboli si dicono dedotti, perchè con 

 derivazioni dai simboli principali di ordine <. s si possono ricavare i sim- 

 boli dedotti di ordine < s + 1 . Ricordiamo ancora la forinola che dà la 

 (v — l)-esima curvatura ( 2 ) 



ove 



l/tf-i = M v _ 2 M v /M;_iM i , 



(l'apice fra parentesi indica la derivazione lungo la curva ripetuta tante volte 

 quante sono le sue unità). 



Vogliamo dimostrare che una superficie è individuata rispetto al gruppo 

 delle deformazioni di specie v dai simboli principali d'ordine v. Supporremo 

 dimostrato l'asserto per le deformazioni fino a quelle di specie v — 1. Dob- 



(*) Tesi, nn. 1. 6, 9. 



(-) Tesi, ri. 23. 



