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biamo cercare quali nuove condizioni bisogna aggiungere perchè una defor- 

 mazione di specie v — 1 divenga di specie v . Deve essere invariante per 

 deformazione 



2i 







Xj 





2 





y ~(2) -.(2) 







2 



«A/ j t/>j 



V ~M™(2) 



y ^.(v) „(v) 





Il termine generico di questo determinante è Ipx^; le derivazioni 

 eseguite lungo la curva dànno 



se' 1 ' = se? 0 ' a' + sci 01 ' y' 



x ® = x f 0) u' 3 -f 2 a;" 1 » y' + 4 02) ?/ 2 -f #»°> u + y' 



La somma 2x'f ) x < i ) è quindi un polinomio d'ordine r -f- s nelle varia- 

 bili , v' , , y" , ... , 2< <r> , v ir) se, come si può, si suppone r~is; i suoi 

 coefficienti sono somme del tipo 2 xf k) xf m) con h-\-k<r, — s < 



i segni di uguaglianza avendo valore solo per i termini della forma d'or- 

 dine r -f- s in u , y' ; cioè detti coefficienti sono i simboli [hklrn] di or- 

 dine r. 



I simboli d'ordine massimo v si trovano solo nei termini dell'ultima 

 riga (o colonna); ma non vi sono simboli principali (cioè tali che h-{-k — 

 = / -j- m = v) se non nell' ultimo termine del determinante e sempre come 

 coefficienti della forma d'ordine 2v in u , y' in esso contenuta. Ora, sup- 

 posto dimostrato il teorema fino a v — 1 invece che a v , sono invarianti 

 tutti i simboli principali d'ordine v — 1; quindi anche quelli dedotti d'or- 

 dine v. L'invarianza della (v — l)-esima curvatura è assicurata quando al- 

 l'invarianza delle curvature precedenti s'aggiunga quella della forma d'or- 

 dine 2)' in u' , v' contenuta in 2xW . E poiché i coefficienti di essa sono 

 combinazioni dei simboli principali d'ordine v, la condizione sopra enunciata 

 è certo sufficiente. 



Ma è anche necessario che sian tutti invarianti? La domanda deve porsi, 



perchè, mentre i simboli principali d'ordine v sono ^ , i coef- 



a 



Scienti d' una forma binaria d'ordine 2v sono 2v -f- 1 ; quindi, appena v^> 1 ,. 

 cioè per ogni deformazione che non sia una semplice flessione, risulta 



Rendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 



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