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La prima è la solita forma di Gauss; la seconda è quella trovata già al 

 n. 4. Possiamo riassumere nel modo seguente i resultati ottenuti: 



Per riconoscere se due superficie ammettono una applicabilità di 

 specie v , occorre e basta vedere se è possibile trasformare le v forme 

 differenziali binarie fondamentali dell'una 



*y s O , 0 ,n — s , s] f_h ( J ) ( s **_ A ) du^-* dv -f \ji00ff\ T h ( £ ) duv-dv* 



+ |L [s , p — s , 0 , /*] Xft ( f ) (s — h) du$ d ^~ s (f* = 1 f ••'")' 



corrispondenti dell'altra. Se ciò è possibile, punti corrispondenti 

 delle due superficie devono essere quelli nei quali sono, uguali i valori 

 della curvatuoa gaussiana e di un suo parametro differenziale. In conse- 

 guenza di queste due equazioni, è necessario che siano identici in punti 

 corrispondenti i valori dei simboli fondamentali fino a quelli d'ordine v 

 {inclusi): l' invarianza di questi simboli caratterizza le deformazioni di 

 specie v. 



In una deformazione di specie v [che conserva cioè la (v — \)-esima 

 curvatura di ogni curva e le precedenti^ esistono oo 1 curve che conser- 

 vano anche la v-esima curvatura, e per un punto della superficie ne pas- 

 sano 2v -\- 2 (contate con le dovute molteplicità); se ve ne passa un'altra^ 

 l'applicabilità è di specie v -\- 1 . 



6. Si sa che la trasformazione di una superficie per applicabilità è con- 

 forme; la proprietà analoga per le deformazioni di specie v è la seguente: 

 nella deformazione rimane inalterato l'angolo degli S* osculatori a due 

 curve aventi in comune un elemento d'ordine k — 1 , con k ^-v . 



La dimostrazione, essendo due tali S ft in un , si fa subito. Del 

 resto ce ne possiamo convincere anche intuitivamente; Sia, per brevità di di- 

 scorso, v = 2 ; AB l'elemento comune alle due curve, C e C gli estremi 

 del secondo elemento su ciascuna. Per l'applicabilità sono invarianti AB , 

 BC, BC\ CC; per esser la deformazione di seconda specie, rimangono inal- 

 terati, oltre ai precedenti, anche i segmenti AG , AC' ; quindi il tetraedro 

 ABCC' rimane rigido nella deformazione, e perciò non cambia l'angolo dei 

 due piani osculatori ABC, ABC. 



7. Nè meno facile è trovar la particolarità geometrica di quelle curve 

 (se ne esistono) che annullano le prime v forme fondamentali. Si vede su- 

 bito che gli S v _j all'infinito degli S v osculatori a una tal curva appar- 

 tengono all'assoluto- 



Queste curve però non esistono generalmente sopra una superficie, e 

 anche la dimensione dello spazio può portare una limitazione alla loro esi- 



