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Il Fubini, nella Nota A.), dimostra: 



Teorema I). / teoremi della media e di Molle valgono per una 

 funzione additiva f(x) definita in un campo piano, limitato e connesso, J, 

 quando sono soddisfatte le seguenti condizioni: 



1°) una retta qualsiasi non incontra il contorno di J in più di 

 due punti (') ; 



2°) f(x) è continua sulle rette (*): cioè, se x è una delle parti 

 in cui J è diviso da una retta r, la f(x) varia con continuità mentre r 

 varia conservando la direzione ( 3 ) ; 



3°) f{x) ha derivata (nel senso di Lebesgue o De la Vallee Poussin) 

 in ogni punto interno a J e sul contorno. 



Per derivata di f(t) in un punto P si può qui intendere pertanto il 

 fi*) 



limite di L ^- L per x = 0, t essendo un campo connesso cui appartiene P 



e il cui rapporto al minimo cerchio di centro P che lo contiene è maggiore 

 di un numero fisso k ^> 0. 



In altre parole, la derivata è qui intesa nel senso di Lebesgue (*) o, 

 se si vuole, nel senso generale di Ch. de la Vallèe Poussin ( 5 ), con la con- 

 dizione, in più, che P debba appartenere (cioè essere interno o sul contorno) 

 a ciascuno dei campi x che figurano nel rapporto di cui si deve cercare il 

 limite ( 6 ). 



Teorema l 6is ). Se però il campo J è un rettangolo, basta enunciare 

 la seconda condizione per le rette parallele ai suoi lati e la terza per i 

 jpunti interni al rettangolo, per poterne concludere (coi ragionamenti molto 

 semplici del Eubini) che esiste un punto P proprio interno ad J, in cui 



Si può dire, di più, che in questo caso basta che la derivata sia definita 

 fi T \ 



come il limite di - — - per x = 0, dove x è un rettangolo coi lati paralleli 

 x 



(') Basta anche clie questa condizione sia soddisfatta per le rette parallele agli 

 assi coordinati (cioè a due rette fisse qualunque, non parallele). 

 (*) Questa denominazione è usata dal Fubini nella Nota (A). 



(*) Questa condizione si può enunciare anche dicendo che, se x è quel pezzo di J 

 ohe è racchiuso tra due rette parallele, allora f{r) tende a zero, quando tende a zero la 

 distanza di queste due rette. Basta che tale condizione sia soddisfatta dalle rette paral- 

 lele ad uno degli assi coordinati, cioè a due rette fisse qualsiasi non parallele fcfr. la 

 Nota 1). 



(*) Sur Vintégration des fonctions discontinues, par M. H. Lebesgue. Ann. éc. norm. 

 (3), XXVII, aoùt. 1910, pp. 362 e 890. 

 ( s ) Loc. cit., pag. 113. 



(•) A rigor di termini dovrei aggiungere: se il contorno è tale da consentire in 

 i;utti i suoi punti una derivata di questo genere. 



