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ai lati di J contenente P al suo interno e col rapporto dei lati compreso 



tra due numeri inversi fissi H ed (con 1^114=0), 



ri 



Teorema V er ). Nella Nota B) il Fubini omette la condizione 2 a 



[della continuità di /(t) sulle rette], dimostrando però soltanto che —j- 



è compreso fra i limiti superiore ed inferiore della derivata di f . 



Teorema lz uater y Ammettendo, invece, che f(r) sia continua non su 

 rette, ma su altri tipi di linee, si può ancora nel caso generale dimo- 

 strare (col metodo del Fubini) che il citato punto P è interno ad J. 



Limitando in altro modo la natura del campo J. io ho poi dimostrato 

 nella Nota C: 



Teorema II). I teoremi della media e di Rolle valgono quando J 

 è un rettangolo, o un cerchio, o un'ellisse, o una corona circolare, ecc. ecc., 

 purché f{%) ammetta derivata (nel senso di De la Vallee Poussin) finita 

 in tutti i punti interni di J, o sul contorno ; ed esiste quindi un punto 



P di J in cui f\P) = ttp-. 



Veramente dalla mia Nota C) risulta soltanto che il punto P è interno-, 

 o sul contorno di J; ma nel presente lavoro completerò questo risultato, 

 dimostrando che si può sempre trovare un tal punto interno a J. 



Così potremo concludere, in particolare, che 



Teorema II*"). / teoremi di Rolle e della media valgono per un, 

 campo J rettangolare ; ed il punto P, in cui 



m= ff 



è interno a J 



se f{r) ammette derivata finita in ogni punto interno a J e se è 

 continua sulle parallele ai lati di J (condizione di -Fubini), 



oppure se ammette derivata finita in ogni punto di J interno o sul 

 contorno (condizione di Vitali). 



2. Per dimostrare i teoremi di Rolle o della media nel caso in cui J 

 sia un rettangolo ABCD, io ho, nella mia Nota citata, diviso AB in 2 n 

 parti uguali e tirate le parallele a BC per i punti di divisione; poi ho di- 

 viso BC in 2 n parti uguali e ho tirato per i punti di divisione le parallele 

 ad AB, ed ho indicato con S„ il sistema di rettangoli uguali in cui J viene 

 diviso da questi 2 sistemi di rette. 



Ebbene: se f{t) è una funzione additiva dei campi % di J, che ammette 

 in ogni punto (interno e sul contorno di J) derivata finita, e se f(J) = 0, 

 per provare, col ragionamento da me usato nella Nota citata, che esiste un 

 punto P interno a J in cui f'(P) = 0, basta provare che, per un qualche n y 



