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o esiste un rettangolo % di S n interno a J (cioè non avente punti sul con- 

 torno di J) in cui /(t) = 0, oppure esistono due rettangoli x x , r z di S„ 

 interni a J, per cui 



A*0>0 e A**)<0. 



Se non si verificassero queste condizioni, vorrebbe dire che, per ogni n e per 

 ogni rettangolo t di S„ interno a J, è sempre /(t) >0 o sempre f(r) < 0. 

 Supponiamo che sia sempre f(t) <C 0. 



Indichiamo con S^ il sistema dei rettangoli di S n non interni a J. 

 È allora evidentemente 



0 > f(S 3 - SÌ) > f(S t - SO > /-(S 5 -SD>->- 



e, poiché 



f(S n ) = /(J) = 0 . 



è 



o</'(s;xas:x/(s;)<--; 



e quindi esiste un numero k > 0 per cui 



f 



qualunque sia n > 2 . • 



Esiste allora in S3 un rettangolo q 3 per cui 



fte*) > q» ; 



e se (>3 è quella parte di che è contenuta in q 3 , sarà 



Ari) >/(?») (')• 



Esiste dunque in £3 un rettangolo q 4 (di Si) per cui 



fi \ -, fiatò \ * q* 



?3 &3 ?3 



e se è quella parte di S5 che è contenuta in g 4 , esiste in q 4 un rettan- 

 golo q 5 (di S5) per cui 



&3 ?3 



e cosi via. 



Si vede poi subito che, per ogni ri, è 



(') Poiché /(^a — 93')<C0, essendosi fatta l'ipotesi che in ogni rettangolo interno 

 la f(r) sia regativa. 



Rindiconti. 1916, Voi. XXV, 1* Sem. 89 



