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Si conclude che 



n—3 



ossia che 



f(Qn) 



Ora i rettangoli 



Q3 Q4 Qr ■ ■ ■ , 



essendo ciascuno contenuto nel precedente, hanno un punto comune P, e per 

 l' ultima disuguaglianza, la derivata di /(t) in P non potrebbe essere finita. 

 E ciò contro l' ipotesi. 



Un ragionamento analogo, fatto nel caso in cui J è un cerchio o una 

 ellisse o una corona circolare ecc., porterebbe alla stessa conclusione. 



3. Il prof. Gr. Peano nella Nota citata e in un'altra sua pubblicazione 

 anteriore ('), si occupa dei teoremi di Rolle e della media e ne indica la 

 semplice dimostrazione nel caso in cui la derivata in P sia intesa come il 



f( T ) 



limite del rapporto di - — , dove t un campo qualunque che può anche non 



x 



contenere il punto P'. 



L'esistenza di simile derivata finita in ogni punto porta difatti la con- 

 tinuità, ed è di qui che si deducono facilmente i teoremi, di Rolle e della 

 media. 



Ma la derivata nel senso generale di De la Vallee Poussin non porta 

 come conseguenza la derivata di Peano: e quindi la portata dei risultati 

 delle Note di Fubini e mia è naturalmente diversa da quella del risultato 

 di Peano. 



4. Ancora una osservazione. 



Ho avuto occasione di distinguere al n. 1 derivate di De la Vallee 



f(r) 



Poussin considerate come limite di - — - in cui il punto limite P appartiene 



T 



f{x) 



a t, e derivate di De la Vallee Poussin considerate come limite di J — 



T 



in cui il punto limite P è interno r. Risulta subito che le derivate di una 

 di queste specie lo sono anche dell'altra se P è interno al campo d'esistenza 

 della funzione, mentre è ovvio che non si può parlare che di derivate del 

 1° tipo se P è sul contorno. 



Ad ogni modo, nel teorema di Fubini enunciato alla fine del n. 1 della 

 presente Nota, poiché non si parla di derivate nei punti del contorno, le 

 derivate si possono intendere senz'altro del 2° tipo. 



f 1 ) Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, per Giuseppe Peano. Torino 

 1887, pp. 171 sgg. 



