Dim. [5]. — Essendo a vettore arbitrario costante, ammessa la [5] 

 per un valore positivo e non nullo di n. e ricordando che B,X = X, si ha 



(X n ^ a)' = (X . A»a)'= ^(.Q ( »'a 2" a) -f Si/\X . X n a 



== RA(J2 {n) A * n a) + 12 a ^" +1 a = (^"'^l^'a + fiA^'a 

 = \ (1 + A H h A"- 1 + A") 12} a a . 



Se, dunque, la [4] è vera per n , essa è pure vera per n -4- 1 ; ma è vera 

 per n = 1, e quindi è vera in generale. 



Rotor funzione di un punto. 



L'isomeria vettoriale 1= Rotor (y , u) sia funzione del punto P varia- 

 bile in un campo continuo a tre dimensioni. 



Esistono le omografìe vettoriali, funzioni pure di P , fi , fi y . tali che 



[7] dX = {fid?)/\X , rfK^^rfP^Ki, 



legate dalle relazioni 



[8] <u, — — KX .fi , ,u = — Xfi x 



e la cui forma effettiva mediante y ed u, che sono pure funzioni di P, è 



[9] fi = H(grad y , u) -f- sen <p ■ ^ + (1 - cos <p) ua 



[9'] = — H(grady,u) — seny + (1— cos 9 ) m/\ ~ . 



Per n numero intero relativo non nullo, esistono le omografie vettoriali 

 fi ln) , fi[ n) tali che 



[7'] dX n = (fi^dP)/\X" , dKX n = (fi[^dF) A KX n , 



poiché X n == Rotor (ng> , u) , cioè X n e KX n sono pure dei Rotor. 

 Per n positivo, si ha 



[10] f^\— (1 + M h^- 1 )^ . M n) ^ (1 + KA -4- • • -4-K*-») ^ , 



[10'] {\—X)fi^={\ — X")fx , (1 — KAJM^O — K^)/*!. 



Si hanno inoltre le formule 



[11] K,ttu = grad <p . K/iii u = — grad y> 



[12] Rpt A == — (Gfi) X , Rot (KX) = — (Gfii) KX 



[13] grad X = 2A\>, , grad KX = 2KrV> , 



