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par 



(2) G=*-^ + H(*, 



la fonctiou de Green du problème mixte consistane à déterminer une fonction 

 harmonique au moyen de seu valeurs sur Lì surface libre et de celles de 

 sa dérivée normale le long de la paroi mouillée. 



Or, d'autre part, lorsque la profondeur h est uniforme et très petite, 

 Lagrange a donne, pour le méme problème, l'équation aux dérivées partielles 



Ce résultat est obtenu par une étude directe du mouvement dans tout 

 Lintérieur du fluide. Mais, de plus, le fait que la profondeur est très petite 

 est utilisé, tant par Lagrange que depuis lui (voir, en particulier, la Théorie 

 des marées de Poincaré), à Laide d'une méthode classique en pareille circon- 

 stanee, mais qui soulève néammoins de graves objections, puis qu'elle conduit 

 à developper les inconnues siuvant les puissances de la profondeur et à ne- 

 gliger tous les termes d'ordre supérienr, bien que lordre de grandeur des 

 coefficiente de ces termes soit totalement inconnu. En fait, comme on le rait 

 déjà et comme nous allons le retrouver, le résultat lui-méme n'a lieu q\ie 

 conditionnellement. 



Je me propose d'établir ce résultat en partant de l'équation (1). 



Supposons le fluide indéfini dans le sens horizontal. 



Il n'ya aucune difficulté à former pour le volume d'un tal fluide, c'est 

 à dire pour le domaine limité par deux plans horizontaux parallèles, la 

 fonction de Green G. Il suffit d'appliquer la méthode des images. On est ainsi 

 conduit à introduire la quantité 



(4, ^...^i J=^_ 



= y 



(-ir 



moyennant laquelle, (1) s'écrit aisément 



(l 6is ) 2n = J"jr(# ,y,x',y') ds' dx' dy' . 



Tonte la question revient à connaìtre Lordre de grandeur de cette 

 quantité F, ordre de grandeur masqué dans l'expression (4) par la destruction 

 mutuelle des termes. 



Le moyen d'arriver à ce résultat nous cest fourni par le calcul des 

 résidus (voir l'ouvrage consacré à ce sujet par M. Lindelòf, dans la collection 



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