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de M. Borei; Paris, Gauthier-Villars). La summe (4) peut étre remplacée 

 par l'intégrale 



1 



\f(u) du . -rr- — , f(u 

 \m ì sin nu 



2,ni ) sin tcu -\/ r * _|_ h* 



prise suivant un eontour entourant tout l'axe réel. 

 Des transformations simples nous donnent ainsi 



(o) 



dv 



S désignant un sinus hyperbolique. 



Ceei fait, ancune difficulté ne subsiste plus. En raison de la présence du 

 facteur sinus hyperbolique au dénominateur, la partie d'integrale dans la- 

 quelle r est du mérne ordre de grandeur que h, subsiste seule. Sidone h 

 est petit, on peut identitìer Jz' avec Jz pourvu que les varìations de Jz 

 ne soient pas très rapides, et on tombe bien sur (3). 



On voit que, dans cette manière d'opérer, l'hypothèse de la petitesse 

 de h n'est introduite qu'en dernière analyse, la calcili fournissant tout 

 d'a.bord des forraules rigouruses quel-que-soit h\ et que, de plus, nous pouvons 

 mettre en évidence avec précision et simplicité les conditions de légitimité 

 de l'équations de Lagrange, laquelle, dans certains cas, est, en fait, mise 

 en défaut. 



L'application de (2 bis ) [avec la valeur (5) de T] au cas de h fini fournit 

 également les résultats connus pour ce dernier cas. spécialement en ce qui 

 regarde les ondes rectilignes. 11 suffit de supposer z indépendant de y. Si, 

 de plus, on admet noe propagation de vitesse constante V, de sorte que 

 x = fx - Vt)< on trouve une équation intégrale de la forme 



(6) 



où T designa une tangente hyperbolique. 



Cette dernière équation appartient à la mérne catégorie générale qu'une 

 de celles qui ont été précédemment 'considérées par M.. Picard: elle est, en 

 eft'et, de la forme 



(7) = r\($)K(\x-t\)dZ 



*-J — co - 



avec K(u) = log T(u) . 



Dans le cas de K{u) = e~ mu . M. Picard a montré que l'équation (7) 

 admet des solutions non nulles pour une infinite continue de valeurs de A 

 (contrairement aux résultats classiques de Fredholm). 



La remarque ainsi obtenue s'étend à toutes les équations du type (7) 

 (pourru que la fonction K ait une décroissance convenable à l'infini). 



