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Um nun die Veränderung; einer beliebigen Fläche R zu 

 finden, kann man folgendermassen verfahren: die Fläche R 

 bestimmt mit P, P', Q und die Zonen [RP], [RP'], [RQ], 

 [RQ']; in diesen Zonen liegen auch vier Flächen der Grund- 

 zone, nämlich Sp, Sp', Sq und Sq'. Durch Umlagerung 

 gehen die Zonen [SpP], [Sp'P'], [SqQ] und[Sq'Q'] über in 

 [SpP'] [Sp'P] [SqQ'] und [Sq'Q], da ja die Flächen S ihre 

 Lage nicht verändern. Diesen vier Zonen muss daher auch 

 die veränderte Fläche R, nämlich R' angehören und die vier 

 Zonen-Punkte [R'Q], [R'Q'], [R'P] nnd [R'P^] liegen daher 

 auf derselben Graden, welche zugleich durch den Punkt r 

 (Zone [RZ]) gehen muss. 



Da der Punkt r stets gegeben ist, genügt natürlich prak- 

 tisch die Kenntniss einer der Zonen [R' P] u. s. w. ; man wird 

 also z. B. durch Verbindung von [RP] mit [G^ Gg] die Gerade 

 Sp ziehen, dann giebt der Durchschnittspunkt derselben mit 

 P' zugleich die Zone [R'P'], die Verbindung von [R'P'] mit 

 r die neue Lage R' von R. 



Diese Construction setzt voraus, was praktisch stets er- 

 füllt ist, dass die Lage zweier Flächen P und Q vor und 

 nach der Umlagerung bekannt sei; während nicht sofort er- 

 sichtlich ist, wie die Lage von R' zu finden sei, wenn nur 

 [Gj^Gg] und Z gegeben sind, obwohl doch die Bewegung 

 dadurch bestimmt ist; wir wollen daher auch diesen Fall 

 untersuchen, da er zugleich ein sehr einfaches Verhält- 

 niss zwischen der Lage der ursprünglichen und veränderten 

 Fläche, der Zwillings ebene und einer Fläche der Grundzone 

 erkennen lässt, auch auf eine wesentlich einfachere Construc- 

 tion als die oben angegebene führt. 



Versucht man nach dem vorhin angegebenen Verfahren 

 die Lage unsrer Projectionsebene (0) nach der Umlagerung 

 zu finden, wenn P, P', Q und Q' neben Z gegeben sind 

 (Fig. 2), so ist zu bedenken, dass die Sectionslinie der durch 

 die Zone [PO] bestimmten Flächen der Grundzone, Op, parallel 

 P verlaufen muss, ebenso die Sectionslinie der analogen Fläche 

 Oq parallel Q, Die Zone [POp] geht über in die Zone 

 [P' Op] , ebenso [Q 0 q] in [Q' 0 q] ; da die Projectionsebene 

 nachher in diesen beiden Zonen hegen muss, so ist die Ver- 

 bindungsgerade von [P' 0 p] und [Q' 0 q] die Sectionslinie 0' der 



