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veränderten Projectionsebene 0. Auf derselben Geraden müs- 

 sen natürlich auch die Zonenpunkte [QOq'] und [POp'] lie- 

 gen, welche den Zonen [Q'Oq] und [P'Op] vor der Um- 

 lagerung entsprechen. Die Sectionslinie 0' muss aber ausser- 

 dem parallel der Sectionslinie So (Fläche der Grundzone 

 aus der Zone der Zwillings- und Projectionsebene), also auch 

 parallel Z sein, da ursprüngliche und veränderte Fläche in 

 einer Zone mit der Zwillingsebene liegen müssen. Man hat 

 daher : 



Str. (op)p = Str. [P'Op] [POp'] = Str. [G, n 



(es ist Z//So //O' und Op//P nach Construction) ; ebenso: 



Str. (opO p = Str. [P' Op] [POp'] Str. [G^ G^] ; 



(da nach Construction Z//0'//'So und Op'//P', ist); es ist 

 daher auch: 



Str. [G, Gg] n = Str. [G, GJ n' ; 

 und 0' liegt in der Mitte zwischen Z und So. 



Um also, wenn Z und [GiG^] bekannt sind, für P die 

 neue Lage P* zu finden , ziehe man durch G^ Gg die Gerade 

 So//Z und trage die Strecke [G^GJtt, welche P auf dieser 

 Geraden abschneidet auf der entgegengesetzten Seite von 

 [Gl Gg] an, so ist die Lage von P' durch die Punkte p und n' 

 bestimmt. 



Es ist im Vorigen die Construction ganz an der Hand 

 der allgemein bekannten Linear-Projection geführt. Bei Be- 

 nutzung der Sätze über harmonische Theilung ergiebt sich das 

 Resultat sehr viel rascher. Ergänzt man das in Fig. 1 

 schraffirte, durch P, P', Q und Q' (und) Z bestimmte Viereck 

 zum vollständigen Vierseit, so erkennt man in den vier 

 Punkten [P'Q'], [PQ], [G^GJ und g^ auf der dritten Dia- 

 gonalen Gj dieses vollständigen Vierseits harmonische Punkte. 

 Das harmonische Verhältniss bleibt natürlich dann auch in dem 

 speciellen Falle erhalten, wenn G^Z/Z wird. 



Bei zweckmässiger Auswahl aus den Flächen der Grund- 

 zone gelingt es auch leicht, dieses Resultat stereometrisch 

 anschaulich zu entwickeln. Ist ab cd (Fig. 3) die Zwillings- 

 ebene, cdef eine beliebige Ebene P, deren Veränderung er- 

 mittelt werden soll, so lässt sich aus der Grundzone stets 

 eine solche Fläche Gp (vergl. auch Fig. 1) auswählen, welche 



