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zugleich in der Zone der ursprünglichen, veränderten und 

 Zwillingsfläche liegt, es sei in Fig. 3 cdgh. Ist ferner ehpi 

 die beliebige Projectionsebene , so lässt sich auch stets eine 

 solche Ebene So aus der Grundzone finden, welche zugleich 

 der Zone von Projectionsebene und Zwillingsebene angehört, 

 es sei in Fig. 3 eadh. Es ist dann abcdefgh eine Grundform, 

 welche durch Umlagerung in die Zwillings-Lage a b c d e' f g' h* 

 kommen möge, wodurch die beliebige Ebene cdef in eine 

 Lage // abg'h' gelangt. In der ursprünglichen Projections- 

 Ebene ist ep die Sectionslinie von cdef = P ; am umgelagerten 

 Krj^stall ist die entsprechende Projectionsebene (Ebene von 

 gleichen Indices) i'e'h'p, in ihr pe' die der ursprünglichen 

 Fläche P zukommende Sectionslinie, ih' die der veränderten 

 Fläche, P', zugehörige. Denkt man sich nun die Ebene ah'bg' 

 = P' so weit verrückt bis sie die Zwillingsebene i ab c dp in 

 derselben Geraden cdp wie die ursprüngliche Fläche P schneidet, 

 so dass also ihre Sectionslinie ebenfalls durch p geht, so ist 

 offenbar e'h' = e'h', wobei der Punkt h' der Projection der 

 Grundzone [G1G2], die Gerade So der gleichnamigen Graden 

 in Fig. 2 entspricht. 



Die Ableitung der Grundform aus der bekannten Ver- 

 änderung zweier Flächen mag noch an einem Beispiel rech- 

 nungsmässig erläutert werden. Beobachtet sei bei der Zwillings- 

 bildung des Kalkspathes nach — -|E = (102) ^ der Übergang 

 von P = cx)P2 = (110) in P' = — = (012), und der Fläche 



q=:ooU= (ITO) in Q' = — = (232) (Fig. 4). Die Zonen 

 P Q, P' Q', P' Q und P Q' erhalten dann die folgenden Werthe : 



[P Q] = [0, 0, 2] ; [P'Q-] = [8, 4, 2] ; daraus = 120; 

 [P'Q] = [2, 2, I]; [P Q'] [2, 2, 5] ; 'daraus = 322 ; 



Mit Hülfe dieser Flächen kann man dann nach der früher 

 angegebenen Methode die Transformationsformeln berechnen. 

 In den meisten Fällen wird es auch ohne weiteres möglich 

 sein die Indices der veränderten Fläche direct aus der Pro- 

 jection abzulesen. 



Sind die Flächen P und Q, deren Übergang in P' und 

 Q' beobachtet ist, nicht unabhängig von einander und der 



^ Der Index der dritten horizontalen Axe (1) ist im Folgenden fort- 

 gelassen. 



