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solides sont égales ou supérieures à deux tiers d'angle droit, 

 que par suite leur nombre ne peut surpasser cinq. On peut 

 la considérer aussi comme un corollaire du théorème d'Euler; 

 on déduit en effet de ce théorème qu'il n'existe pas de po- 

 lyèdre convexe dans lequel ne se trouvent ni angles trièdres., 

 ni angles tétraèdres ou pentaèdres. 



Formules relatives aux polyèdres semi- réguliers du premier 



genre. 



Désignons par A le nombre des arêtes, F et S les nombres 

 des faces et des sommets du polyèdre ; soit d'autre part 



/s-^An/s nombres des faces triangulaires, quadran- 



gulaires, pentagonales.. d'après le théorème d'Euler, on a: 



(1) A4-2 = F-hS 

 d'autre part, on a évidemment : 



(2) F + 



et comme chaque arête appartient à deux faces : 



G^) 2A = 3/3 + 4/^ + .... 



Chaque arête appartient aussi à deux angles solides, sui- 

 vant donc que les angles seront trièdres, tétraèdres ou pen- 

 taèdres, on aura l'une des formules suivantes : 



(4) 2A = 3S 2A = 4S 2A = 5S 

 Désignons maintenant par t le nombre des faces triangu- 

 laires aboutissant à chaque sommet, par q le nombre des 

 faces carrées, p celui des faces pentagonales, etc....- en fai- 

 sant la somme des nombres des faces de chaque espèce qui 

 aboutissent en chaque sommet, on obtiendra les relations 

 suivantes : 



(5) 3/, = ^S 4/,==^S 5/,^i9S.... etc. 



En ajoutant membre à membre ces équations et tenant 

 compte de la relation (4), on retrouve la relation (3); si 

 donc n est le nombre d'espèces de faces du polyèdre, les 

 équations distinctes se réduisent à ?z^-3, elles permettront 

 donc de déterminer les (?^ -h 3) nombres A, F, S,f^fn.,*,, 

 pourvu que l'on connaisse t^q^p.,*', nombres dont la somme 

 doit être au moins égale à trois et au plus égale à cinq, 

 puisque les angles du polyèdre doivent être trièdres, tétraè- 

 dres ou pentaèdres. 



BULL. soc. se. NAT. T, X. W CÂH, H 



