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Il convient donc de chercher tout d'abord quelles sont les 

 valeurs possibles de t.^c[^p»,,, etc.; la détermination des po- 

 lyèdres semi-réguliers possibles est donc ramenée à la réso- 

 lution d\m problème d'analyse indéterminée. 



Détermination des combmaisons de faces polygonales régulières 

 qui peuvent correspondre à des polyèdres semi-réguliers. 



Cette détermination peut être effectuée rapidement de la 

 manière suivante: éliminons A, F et S entre les équations 

 (1), (2), (3) et (4); on obtient de la sorte, suivant que les 

 angles sont triôdres, tétraèdres ou pentaèdres, les relations : 

 3/3 + 24+/, = 12+ /, + 2/3 + .... 



(6) A= 8+ /, + 2/, + 3/, + .... 



/3 = 20 + 2A + 5/, + 8/« + .... 



On en conclut : l"" que dans tout polyèdre semi-régulier à 

 angles trièdres se trouvent nécessairement des faces trian- 

 gulaires ou carrées ou pentagonales ; 2"" que dans tout po- 

 lyèdre semi-régulier à angles tétraèdres ou pentaèdres, se 

 trouvent nécessairement des faces triangulaires. 



Cas des angles trièdres. 



Il est tout d'abord évident que lorsqu'un polyèdre semi- 

 régulier admet des faces d'un nombre impair de côtés, les 

 deux autres faces de l'angle trièdre doivent être de môme 

 espèce; cela posé en tenant compte de la limite (quatre 

 droits) que ne peut atteindre la somme des faces d'un angle 

 solide convexe, on reconnaît que les seules combinaisons de 

 faces possibles sont : 



1° Un triangle avec deux hexagones, 



2^^ Un triangle avec deux octogones, 



3° Un triangle avec deux décagones, 



4" Un carré avec deux hexagones, 



5'* Un carré avec un hexagone et un octogone^ 



G"" Un carré avec un hexagone et un décagone, 



7* Un pentagone avec deux hexagones, 



8° Deux carrés avec un polygone régulier quelconque. 



