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suivant que les laces sont triangulaires, quadrangulaires ou 



pentagonales ; puis : 



(5) 3 53 - T F 4 6, = Q F 5 s, - P F 



Ces formules donnent lieu à des remarques analogues à 



celles faites précédemment. 



Détermination des combinaisons cVanglcs polyèdres réguliers qxii 

 peuvent correspondre à des polyèdres semi-réguliers. 



En éliminant Â, F et 8, entre les équations (I) (2) (3) et 

 (4), on obtient suivant que les faces sont triangulaires, qua- 

 drangulaires ou pentagonales, les relations suivantes : 

 3 -^^ -t- 2 5^ -H = 1 2 -f- 5^ -4- 2 5g + .... 



= 8 H- s,. + 2 -i- 3 5,^ -4- . . . . 

 55 = 20 + 2 5, + 5 .Çy -I- 8 ^ 



On en conclut que dans tout polyèdre semi-régulier du se- 

 cond genre, à faces triangulaires, se trouvent nécessairement 

 des angles trièdres, tétraèdres on pentaèdres, et 2'' que dans 

 tout polyèdre à faces quadrangulaires ou pentagonales se 

 trouvent nécessairement des angh-s trièdres. 



En remarquant que lorsqu'un polyèdre semi-régulier du 

 second genre admet des angles polyèdres d'un nombre impair 

 de faces, les deux angles polyèdres qui lui sont contigus dans 

 une même face doivent être de même espèce, que les faces 

 soient triangulaires ou quadrangulaires; d'autre part, en te- 

 nant compte de la limite supérieure de la valeur des faces 



d'un angle polyèdre régulier convexe de n faces 



et remarquant que la somme des faces des angles polyèdres 

 combinés doit être deux, quatre ou six droits, suivant que les 

 faces du polyèdre sont triangulaires, quadrangulaires ou 

 pentagonales, on reconnaît que les seules combinaisons d'an- 

 gles polyèdres possibles sont celles qui correspondent aux 

 combinaisons de faces indiquées pour les polyèdres du pre- 

 mier genre. 



II ne peut donc exister d'autres polyèdres semi-réguliers 

 du second genre que ceux dont les éléments se déduisent par 

 permutation des lettres F. et S, / et 5 des éléments trouvés 

 pour les polyèdres du premier genre. 



