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courbe arrive en même temps , quel que soit son point 

 de départ sur la courbe. Soit s la longueur de l'arc, 

 comptée à partir du point x = 0, y=0 et soit la loi de 

 la résistance du milieu mv-^nv'^^ v étant la vitesse. 

 Laplace donne l'équation différentielle de la tautochrone 

 sous la forme 



(1) dy^-^{i-e-'")ds 



OÙ g désigne l'intensité de la pesanteur et k un para- 

 mètre constant, dont la dimension de la courbe dépend. 

 e est la base des logarithmes naturels. 



Pour démontrer que cette équation représente la tau- 

 tochrone, prenons l'équation différentielle du mouve- 

 ment. 



Si l'on fait la substitution e'"-^ — 1 = ^? on a en diffé- 

 rentiant par rapport au temps t 



ds d(j 

 ne'^'-T-^-rr ou 

 dt dt 



ds i d^ 



dt n[<y+l) dt 

 d^s 



(œ+1) ydt) 



ds ^ ^ d^ 

 L'équation du mouvement se change donc en 



