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Désignons, pour abréger, par section moyenne du tétraèdre qui 

 a pour sommet le point S et pour base le triangle A,B,C, la sec- 

 tion déterminée par un sommet G de la base et par la ligne AiBi, 

 qui partage les deux arêtes SA, SB de la face opposée en parties 

 égales. 



Lemme. — Le volume d'un tétraèdre a pour mesure le produit 

 de quatre fois une section moyenne par le tiers de la distance du 

 sommet à cette section. 



En effet, les deux pyramides SABG, SAiBiG (fig. 1) peuvent 

 être considérées comme ayant pour sommet G et pour base les 

 triangles SAB, SAiBi, situés dans un même plan; l'aire du second 

 triangle étant le quart de celle du premier, le volume du tétraèdre 

 SABG est le quadruple du volume du tétraèdre SAiBiG, d'où ré- 

 sulte la proposition énoncée. 



Gonsidérons un tronc de pyramide ABGAiBiGi (fig. 2) et la sec- 

 tion MNP déterminée par un plan mené à égale distance des bases ; 

 joignons le point P aux quatre points A, B, Ai, Bi. On peut consi- 

 dérer le tronc de pyramide comme formé par la réunion de trois 

 pyramides ayant pour sommet le point P et pour bases : 



La 1^ la base inférieure AiBiGi ou plus simplement B ; 



La 2« la base supérieure ABG ou b ; 



La 3^ le trapèze ABAiBi. 



Si donc H est la hauteur du tronc de pyramide, les volumes du 

 1^»' et du 2^ tétraèdre seront 



Pour évaluer le volume de la 3« pyramide, menons la diagonale 

 AiB, qui coupe en L la ligne MN; on peut considérer la pyramide 

 PABAiBi comme formée des deux tétraèdres PBAiBi, PABAi. 



D'après le lemme précédent, le volume du premier a pour ex- 

 pression 



Volume du tronc de pyramide. 



et 



H 

 6 



(4.PLN) 



