— 36 — 



risulta : 



Sa' — Ea Saio) f 



ove date le a si possono determinare le a e viceversa. 



All' iusieine dato competono allora le due rappresentazioni : 



Sa(°) Ea , Ea Sa(o) } 



e la trasformazione composta con due di esso : 



Sa — Sa {0) Ea , Sb' — Eh Sa(o) , 



potendosi scrivere : 



Sa Sb — Sa(o) Ea Eb Sa(^ , 



contiene soltanto r parametri essenziali. 



Dopo ciò, se ricordiamo che un insieme oo r di trasformazioni, 

 il quale contenga la trasformazione identica, allora e solo allora co- 

 stituisce un gruppo, quando la trasformazione composta con due di 

 esso contiene soltanto r parametri essenziali, (*) è chiaro che pos- 

 siamo senz'altro enunciare il seguente teorema. 



Affinchè un insieme oo r di trasformazioni 

 (1) x'i — fi (x, a) (i — 1,2, . . n) 



contenga la trasformazione identica e, nelV intorno di questa, costi- 

 tuisca un gruppo, è necessario e sufficiente 



a) che le x', come funzioni dei parametri , soddisfino ad equa- 

 zioni della forma : 



àX h v f , . /h — 1,2, ... , n\ 



157= (*) *p* w u=i;-2; ... , w> 



in cui il determinante delle fypic (a) non è identicamente nullo , e le 

 Zph {%') non possono soddisfare a nessun sistema di equazioni della 

 forma : 



S g P Zph (x) = 0 (h~i,2, .,.,.«), 

 P =i 



coi coefficienti gp indipendenti dalle x' e non tutti nulli. 



(*) Lie - Scheffers : Vorlesungen iiber continuierliche gruppetti, ecc. pag. 391, 

 Satz. 4. 



