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Poniamo dapprima, come è anche necessario, che le a?', qnal; 

 funzioni dei parametri, soddisfino ad equazioni dalla forma : 



dx' h V p . . j. . . ih = 1,2, . . . , n\ 



« = ^ ¥ {x } V (a) (* = 1,2, . . . , r) 



in cai il determinante delle ^p/v (a) non è identicamente nullo, e 

 le fyh (x) non possono soddisfare a nessun sistema di equazioni 

 della forma : 



P— * 



S <7p £pfc ("0=° (* = 1,2,. • • , n) 



p=l 



coi coefficienti gp indipendenti dalle x e non tutti nulli. 



Ammettiamo inoltre, che esista fra le (1) una trasformazione 

 Sa (0) , corrispondente a valori dei parametri, che non annullino il 

 determinante delle c[>pfc (a) , tale che essa e la sua inversa si ot- 

 tengano entrambe dall'insieme delle: 



(3) «~Ì 8 — M , 



per valori delle a, che sono all' interno del campo, in cui le (3) 

 costituiscono un gruppo. 



Anche questa condizione è, si vede subito, necessaria al no- 

 stro scopo: esisterebbero infatti, in un intorno della identica, tra- 

 sformazioni, che appartengono insieme colle loro inverse, al grup- 

 po dato, e che corrispondono a valori dei parametri, pei quali il 

 determinante delle cj>pfc (a) è diverso da zero. 



Si tratta ora di vedere che le medesime condizioni sono an- 

 che sufficienti. 



A tal' uopo osserviamo anzitutto che per la seconda di dette 

 condizioni dovrà all' insieme dato appartenere la trasformazione 

 identica. Inoltre, nell' intorno di questa, poiché il gruppo delle 

 (3) , contenendo la ÒV 0) , e la , viene per mezzo della S , 0) 

 trasformato in se stesso, cioè si ha : 



Ea' = #a(o> Ea Sa< 0) , 



