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fra loro, abbiano entrambi per susseguente un medesimo numero 

 c (necessariamente diverso da quelli, grazie a g). Uno dei nume- 

 ri a e b sarà certamente maggiore (seguente) dell' altro (Jc). Ma 

 dal supporre b^>a, cioè che b sia un seguente di a (§ 4) si de- 

 duce che il numero b, in quanto è diverso dal susseguente di a 

 dovrebb' essere al certo un seguente del susseguente di a (§ 4), 

 vale a dire un seguente di c; mentre è e un seguente di b: as- 

 surdo (i). Similmente l' ipts. a^>b farebb' essere a un seguente 

 di c, mentre è e un seguente di a. Quindi è forza concluder, 

 che a—b (Jc). 



1 fatti allegati a questa dimostrazione (§ 4) son tutte cose- 

 fondamentali, di cui l'Aritmetica non può passarsi in niun modo: 

 onde sarà manifesto, che il nuovo sistema di pstl. I),... IY) non 

 implica, rispetto a quelli già noti, alcuna maggiore difficolta de- 

 duttiva o didattica. 



A confermare V equivalenza delle prpsz. I),... IY) da una 

 parte e delle a),... 8) dall'altra resta che si deduca la IY) dalle 

 a),... 8): ma ciò si lascia al Lettore. 



§ 6. Ohe i pstl. I),... IV) siano indipendenti gli uni dagli al- 

 tri, si prova per uoti esempii. 



1. Tolto N 0 = A (*), sussisteranno le prpsz II), III) e IV), 

 ma sarà falsa la I). 



2) Se a r^j =~ fr, N 0 ~ • a, succi = b, sono vere le ]), III) e 

 IV), mentre non è soddisfatta la II). 



3) Per N 0 s' intenda la classe dei numeri interi 0,1,2,3,.... ; 

 ma pongasi suca? = <r-|-2, qualunque sia il numero x. Si troverà 

 che son vere le prpsz. i I), li), IV); ed errata la III), in quanto 

 esistono allora due numeri 0 e 1 non susseguenti di alcuno. 



4) Facciasi N 0 = i a e sueft = a. Eisultano verificate le 1), 

 II), III) e infirmata la IV). 



(*) N 0 è la classe dei numeri interi, positivi o nulli. 



Catania, dicembre 1907. 

 {Ricevuta il 10 gennaio 1908). 



