— 29 — 



Premesso che (ass. lì): 



1 = sue 0 , 2 — suoi, 8 = suo 2, 4, = sue 3, , 



e (qualunque sia il u umero n) n -\- 1 = mun; porremo, essen- 

 do x un numero qualsivoglia: 



suc^—suc^ , sue 2 £P=rsue(suc 1 it ! ) , suc 3 &— suc(suc 2 #),.. ; e (nell' ipts. 

 che suc n # sia un numero): suc 1 ^ 1 x=z suc(suc"*) ; onde sarà definito 

 per induzione (§3) 1' c n e * ìmo seguente' o 'seguente di n esimo or- 

 dine'' del numero x (ass. II). La locuzione 'seguente x" 1 senz'al- 

 tro è per denotare i seguenti di qualsivoglia ordine; e il 

 medesimo significato spetta alla frase 1 maggiore di x '. Di qui — 

 sempre in grazia di — si trae facilmente che: 



ìi) « Se y è un seguente di x e z un seguente di ?/, sarà z 

 un seguente di x » (vale a dire che, essendo m un numero arbi- 

 trario, V m esimo seguente dell' n esl[no seguente di x è ancora un 

 seguente di x). Indi si proverà che 



i) « Non si può dare ad un tempo, che y sia un seguente x 

 ed x un seguente y »: atteso che queste due cose involgerebbero — 

 giusta il teorema preced. — che x fosse un seguente di x, contro g). 



Per concludere che i nostri principii 1),.., IV) sono atti a 

 definire un ordine (aperto) di successione nella classe dei nu- 

 meri interi assoluti, resta sol da vedere che: 



Te) « Di due numeri, pur che diversi fra loro, uno è per cer- 

 to seguente dell' altro » O, in altri termini, che « He x, y sono 

 numeri, delle tre cose l'ima: o y è uguale ad x, o y è maggiore 

 di x, o x è maggiore di y >. Il fatto è vero, se y~0: atteso 

 che 0 = 0, e che dal supporre n >> 0 consegue , qualunque sia 

 il numero n, che n -f- 1 > 0 fhj; ond' è forza concludere che qual- 

 sivoglia numero x sia maggiore od eguale allo zero (§ 3). Ma 

 posto che il fatto abbia luogo per y eguale ad un numero m, si 

 deduce (qualunque sia m) che deve sussistere ancora, se y=m-\-l; 

 perchè dalle ipotesi x=zm } x^> m,m^>x consegue rispettivamen- 

 te m-f-l>#, #>m-f-l, m + l>a? fhj. Dunque è vero, qua- 

 lunque sia y (§ 3). 



§ 5. Or si supponga che i numeri a e ft, quantunque diversi 



