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altri termini : * Qualunque sia il numero n, i due numeri n e 

 sue n (*) sono diversi fra loro. » 



Lo « zero » sarà qui definito come al § 1 (f); posto che 

 sono vere anche qui le prpsz. 1 f) ed e). 



§ 3. Si dimostra , che il principio d' induzione completa è 

 conseguenza dei nuovi postulati I),... IV). 



« Se s è uua classe, alla quale appartenga 1) lo zero e 2) 

 il susseguente di ciascun numero che spetti ad s ; allora qualun- 

 que numero è un s. » Invero, dicasi u la classe dei numeri, che 

 non appartengono ad s: proveremo che una tal classe è vuota 

 o illusoria. Dall'ipotesi che esistali degli u (vale a dire che u non 

 sia classe illusoria) e dall'assioma IV), si dedurrebbe, che deve 

 esistere in u qualche numero x , il quale non sia susseguente di 

 un numero spettante ad u. Un si fatto numero x sarà certa- 

 mente diverso da zero; poi che — grazie all' ipts. 1) — lo zero 

 non appartiene ad ?/. Dunque esso ammette un antecedente y 

 (tale cioè che % — sncy): poi che, in forza di 111) e di f) , qua- 

 lunque numero, pur che diverso da zero, sempre sussegue ad un 

 numero. Ora un tal numero y , in quanto escluso da u , dovrà 

 appartenere ad s: per la qual cosa il suo susseguente x — gra- 

 zie all' ipts. 2) — sarà contenuto in s , e quindi escluso da u. 

 Pertanto 1' ipts. fatta che esistali degli u, genera questa illazione 

 assurda : esiste un numero x il quale appartiene e non appartie- 

 ne ad u. 



§ 4. La prpsz p) — da cui risulta, che la trasformazione 

 di ciascun numero nel susseguente (implicata dell'assioma II) è 

 con ver s iva o reciproca — discende ancor' essa dai nuovi prin- 

 cipi i I),... IV). Per dimostrarla, potremmo dare come acquisita la 

 nozione di ''somma di due numeri interi' e la relazione 'è mag- 

 giore di...'' ; in quanto si stabiliscono con noti metodi su fatti già 

 postulati ovver dimostrati ai §§ 2,3, e senza appellarsi a $) : ma 

 non dispiaccia se si richiamano per sommi capi le deduzioni oppor- 

 tune, tanto che basti a rimuovere qualsiasi dubbio in proposito. 



(*) « Sue » sta per « susseguente di » 



