M. Pieri— SOPEA GLI ASSIOMI ARITMETICI. 



§ 1. È cosa ormai stabilita che V Aritmetica si può istituire 

 deduttivamente sulle nozioni primitive di 'numero' (intero, po- 

 sitivo o nullo) e i susseguente d'un numero', mercè di quattro 

 proposizioni primitive (assiomi o postulati), che nel loro insie- 

 me forniscono appunto una definizione 'reale' od 1 implicita ' del 

 numero intero assoluto. Esse sono ( # ) : 



oc) Il susseguente di un numero è un numero. 



P) Due numeri, che abbiali per susseguente un medesimo nu- 

 mero^ sono uguali fra loro. 



Y) Esiste almeno un numero, che non sussegue alcun numero. 



h) Se una classe (di numeri) coutiene un numero non susse- 

 guente di alcun numero, e se il susseguente di ciascun numero 

 della classe appartiene alla classe; allora ogni numero appartie- 

 ne alla classe. (Principio d'induzione completa). 



Dalle premesse et) e deriva poi senza indugio il teorema: 



e) « Due numeri , nessuno dei quali sia susseguente ad un 

 numero, son sempre uguali fra loro ( ## ) », Onde la definizione: 



f) « Si dà il nome di zero ('0') a quel numero — determi- 

 nato ed unico, grazie alle ed e) — che non è susseguente di 

 un numero ». Per la qual cosa il principio 8) viene a dire in so- 

 stanza che : 



« Se una proposizione è vera per lo zero; e se, con V am- 



(*) R. Drdekind, ' Wa* sitici und was sollen die Zahlen ? ' (Braunschweig, 

 1888), § 71. 



G. Peano 1 Arithmetices principia ' (Torino. 1889), pag. 1; e ' Sul concetto di 

 numero', in Riv. a di Matem.% voi. I. (1891), pag. 90. 



A. Padoa, ' Théorie des nombres entiers absolus, in Revue de Mathématiquos, 

 v. Vili (1902), pag. 48. Il sistema a),... 8) è quello proposto da A. Padoa 



(ivi). 



(**) A. Padoa, loc. cit. , pag. 50. 



