3 — 



terna all'area e contenente soli punti di questa, della derivata 

 della u y) rispetto alla normale alla curva, cioè si ha : 



ed inversamente che, se la (1) è verificata per ogni curva o an- 

 zidetta, la u (x, y) risulta armonica nell'area A, ammesso che ivi 

 sia finita e continua insieme alle derivate prime ed abbia le de- 

 rivate seconde limitate, atte all'integrazione e tali che almeno 



È tacile vedere che la proprietà espressa dalla (1) è carat- 

 teristica per le funzioni armoniche sotto condizioni assai più am- 

 pie di quelle dianzi dette, solo cioè ammettendo, ciò che è anche 

 necessario, che esistano e siano limitate le derivate prime della 

 funzione data u (x, y) : allora esiste sempre (nel senso di Lebesgue) 

 V integrale ( 1 ). 



Più precisamente si può dimostrare il seguente teorema: 



Se neW area A esistono e sono limitate le derivate prime della 

 funzione u (x, y) , affinchè questa sia armonica è necessario e suffi- 

 ciente che per ogni circonferenza interna ad A, contenente soli punti 

 di A, ed il cui raggio non supera una quantità <5, maggiore di ze- 

 ro, risulti nullo V integrale (1). 



Per dimostrare che le coudizioni ora dette, evidentemente- 

 necessarie, sono anche sufficienti affinchè la u (x, y), sia armoni- 

 ca, detta r una quantità positiva, non nulla, minore di h, indi- 

 chiamo con A r un'area interna ad A, tale che ogni cerchio di 

 raggio r, avente il centro in un punto di A n sia interno ad A. 



Preso un punto qualsivoglia (a?, y) in A n consideriamo pei 

 valori di p compresi nell' intervallo (0, r) la funzione : 



(*) Cfr. Bianchi : Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complesso, e 

 delle funzioni ellittiche § 32 [Ed. Spoerri, Pisa (1901)]. 



(**) La funzione u (x, y) è, nelle dette ipotesi, assolutamente continua e 

 però linearmente integrabile lungo ogni circonferenza interna ad A. 



(1) 



•*.«;": «a* «hit 



