Dall'ipotesi che le derivate 4— > 4~ esistano e siano limi- 



dx $y 



tate nell'area ^4 segue ( # ) che la/(p) ammette nell'intervallo (0, r) 

 la derivata, e si ha : 



df((j) 1 |' 2r $u (oc -f- p cos 8 , «/ -I- p seiì 8 ) 



(2) <*p 2 * ./ 0 9j> 



che per ogni p diverso da zero si può scrivere : 



db , 



dp 



Nel punto p=:0 si ha inoltre: 



= 4- r j *Lgk cos 0 + * ( *» 0 | 4 , 



\ tfp / p _ 0 2* ; o / 3^ 3g ^ 



e quindi ancora : 



(Wj = 0. 

 .J * 'p=0 



Segue da ciò che la funzione f (pi è costante nell' intervallo 

 (0, r) e poiché : 



/ (0) = u (x, y) 



ne risulta : 



1 f 2r - 



u (x, y) = j u (x + p cos 0 , y p sen G) rfG (0 <^ p <j »•). 



Il valore della u (x r y) in un punto qualsivoglia di 4,. è dun- 

 que la media dei valori che essa assume su una circonferenza di 

 raggio minore od uguale ad r , che ha quel punto come centro, 



(*) Cfì\ Lebesgui; : Lepons *?/>■ V integration et la recherche des fonctions pri- 

 mUives, p. 114 [Paris, Gauthier-Vilbirs, (1904)]. 



