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e poiché r solo è soggetto aliti condizione di essere minore di 8, 

 per un teorema di E. Levi (*) si può senz' altro concludere che 

 essa ammette le derivate dei vari ordini ed è armonica. 



Con ciò il teorema è pienamente dimostrato. 



Osservazione : Supposta la funzione u (x, yj integrabile super- 

 ficialmente (nel senso di Lebesgne) e linearmente su ogni circon- 

 ferenza di raggio minore di 8, (**) si potrebbe il precedente teo- 

 rema generalizzare , sostituendo alla condizione che le derivate 

 prime -f^- , siano limitate, altre condizioni meno restrittive, 

 sotto le quali la /' (p) ammette ancora la derivata in ogni punto 

 di (0, r) e sussiste la (2). ( ### ) 



(*) Cfr. la Nota : Sopra una proprietà caratteristica delle funzioni armoniche 

 [Rendic. della R. Accademia dei Lincei (1909)]. 



(**) Cfr. Tonelli : Sopra una proprietà caratteristica delle funzioni armoniche 

 [Rendic. della R. Acc. dei Lincei (1909)]. 



(.*'**) Cfr. Arzklà : Sulle serie di funzioni; Parte seconda [Memorie della R. 

 Acc. di Bologna (1900)] — Tonelli : Su la continuità e derivabilità di un integrale 

 rispetto ad un parametro [Rendic. della R. Acc. dei Lincei (1910)]. 



