Prof. G. Vitali — 8ULLA CONDIZIONE DI INTEGKA- 

 BILITÀ DELLE FUNZIONI. 



Nella presente nota io dimostro che l'essere o no integrabile 

 una funzione reale e finita in aii intervallo finito dipende unica- 

 mente dalla natura del gruppo dei suoi puuti di discontinuità. 

 Finora si sa che condizione necessaria e sufficiente affinchè una fun- 

 zione reale e finita f (x) sia integrabile in un intervallo (a, b) è 

 che per ogni numero a reale e positivo piccolo a piacere il gruppo 

 dei punti in cui la funzione f (x) fa un salto non inferiore a a sia 

 r inchiudibile ; uia questa condizione dipende, almeno apparente- 

 mente, dalla natura del gruppo dei punti di discontinuità di /" [x) 

 e dalla natura delle discontinuità medesime. 



Per dimostrare quanto mi sono proposto mi appoggio ad un 

 caso particolare di un teorema di Osgood (*). Il Signor Osgood 

 ha dimostrato che se Q è un gruppo chiuso e è un sotto gruppo 

 di Q che col crescere di v diventa dappertutto denso in Q allora 

 r estensione (**) di Q è uguale al limite deW estensione di Q^^ per v 

 che va air infinito. 



Il caso particolare che a noi interessa si può enunciare così : 



« Se 



« G2 Gn 



« sono gruppi riuchiudibili e 



« è un gruppo chiuso, V è rinchiudibile. » 



Io darò di questo enunciato una dimostrazione elementare. 



Sia («, b) l'intervallo nel quale giacciono tutti i grup[)i che 

 noi consideriamo. Noi fisseremo ad arbitrio una quantità reale e 

 positiva £ piccola a piacere ed infinite quautità ])ure reali e po- 

 sitive uon nulle 



^1 ^2 



{^) American Journal of Matheniatics, 19 o anche. Jaliresbericht der Deut- 

 sclieu Mathematiker-Vereinigung- 1900. Arthur. Schoenfiiess. pag. 91 IV. 



(**) Chiamo qui estensione ciò che Cantor e i tedeschi chiamano V Juhalt 

 del gruppo. 



