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tali che 



S £,1 < £ 



Noi possiamo per ogni n dividere {a, b) in un mimerò finito 

 di parti così piccole cUe la somma di quelle parti in cui giacciono 

 punti di (7 sia minore di ^,^ e ciò perchè 0,^ è rinchiudibile. An- 

 zi possiamo fare in modo che nessnu punto di divisione sia punto 

 di G,,. Indichiamo tali tratti con df. Io dico che esiste un in- 

 dice ìIq tale che tutti i tratti d'^^ con n^^ cadouo completamente 

 dentro ai tratti d'- con n <C '^^o' T^f^t^^ti se ciò non è io posso sce- 

 gliere un d^^ che non cada dentro i d^ . poi un d *^ che non ca- 

 da completamente dentro i d^, q d^_ e così via di seguito. 



I tratti 



, /-^ 



avranno un punto limite che sarà punto limite di F e quindi 

 punto di r perchè F è chiuso. Sarà dunque un punto di un 



per di G^^^. Dunque esso cade in un d e quindi dentro 



un tal d cadono infiniti d '' e ciò contro 1' ipotesi. 



* i/i 



È dunque dimostrato che esiste l'indice predetto e per- 

 ciò esiste un numero finito di tratti in cui cade tutto F e che 

 hanno una somma minore di s. 



Quindi F è rinchiudibile c. d. d. 



Ed ora dimostriamo il seguente 



Teorema. Se f (x) è nna funzione reale e finita^ integrabile nel- 

 Vintervallo (a, b), qualunque funzione reale e finita^ cp (x) che sia con- 

 tinua nei ])unti in cui f (x) è continua è integrabile essa "pure in (a, b). 



Sia F il gruppo dei jjunti in cui il salto di cp (x) è maggiore 

 o uguale a a. Questo gruppo è certamente chiuso perchè in un 

 X)unto limite di punti di F il salto di co {x) non è minore di a. 



Siano 



Gì 02 On 



