delle quantità positive decrescenti e tendenti a zero, a 



r,, r^ + r,, ri + r2 + r3, 



i gruppi di punti in cui i salti di f (x) non sono minori rispet- 

 tivamente di 



Questi gruppi sono rincliiudibili percliò f {x) è iutegrabile, e 

 taglieranno V in gruppi 



G ^ , Cr^ — {— (to j Gr| -\- Go H~ G-^ 



a maggior ragione rinchiudibili. Rinchiudibili sono dnnque anche 

 i gruppi 



G^ , G^ ì G'_> , 



Inoltre un ])unto di V è certo punto di un G,^ e perciò 



V—G^^ G^-\-Gr,-\- -\-Gn-r 



e, per il teorema precedente, il gruppo F è rinchiudibile. Si con- 

 clude subito che la funzione cp {x) è integrabile. 



2° Esprimiamo ora la condizione necessaria e sufficiente per 

 V integrabilità di una funzione in modo che essa sia iudipendente 

 dal comportarsi della funzione rispetto al gruppo delle singolarità. 



lo dico che : 



« Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione f(x) 

 « reale e finita^ sia integrabile in un intervallo (a, b) è che il grup- 

 « pò dei suoi punti singolari sia tale che ogni suo sottogruppo chiuso 

 « sia rinchiudibile ». 



Dim."'^ La condizione è sufficiente perchè allora il gruppo di 

 punti in cui il salto di/(.T) è > a essendo chiuso è rinchiudibile. 



La condizione è necessaria perchè se A è un sottogruppo 



chiuso del gruppo di ])unti di singolarità, io posso facilmente co- 

 struire una funzione che in quei punti abbia un salto > a e che 



altrove sia continua. 



Questa funzione deve, ])el teorema precedente, essere inte- 

 grabile e perciò il gruppo A deve essere rinchiudibile. 



