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Vitali (1) Sia / una fuDzioue finita, definita in un intervallo d ì 

 cui estremi siano i punti a, h. Siano m, M i suoi limiti inferiori 

 e superiori j sia le la piìi grande delle due quantità |m|, \M\. 

 Saranno m, M, k costanti finite. E si ha : 



1. 8e noi dividiamo d in segmenti parziali h in numero finito 

 0 infinito j tale che ogni punto interno a d sia interno a uno e a 

 uno solo di tali segmenti o sia estremo comune a due di essi , o 

 sia punto limite di infiniti segmenti § , questi segmenti formano un 

 insieme finito oppure numerahile, e noi li potremo contraddistinguere 

 con un indice intiero positivo s. Supporremo S^^— - d. 



2. 8e mg , Mg sono i limiti inferiore e superiore di f in , 

 le serie (eventualmente ridotti a polinomii) S nig §g , S Mg Bg sono 

 assolutamente convergenti. 



3. Il limite superiore delle prime {inferiore delle seconde) è lo 

 integrale inferiore {superiore) di f in d. 8e questi due limiti sono 

 uguali^ f è integrabile in d e viceversa. 



4. Se noi calcoliamo S m^ §^ (E Mg §g) per una serie di cosif- 

 fatte divisioni^ tale che il limite superiore deW ampiezza degli inter- 

 valli corrispondenti tenda a zero , allora S mg §^ (S Mg ^g) tende a 

 un limite^ che è precisamente V integrale inferiore {superiore) di f 

 in d. Se noi perciò passando al limite nel modo qui accennato con 

 ima particolare serie di divisioni otteniamo uguali limiti , la fun- 

 zione è senz' altro integrabile. 



La prima asserzione è evidente per un noto teorema di Cantor. 

 La seconda è pure evidente perchè |»^s| ^ jiM^I ^ A; e 



lll,=zd. 



Per dimostrare le altre parti del precedente teorema premet- 

 tiamo : 



Se S mg ^g (S Mg §g) è una delle serie teste considerate , e i 

 segmenti ìt^ sono proprio in numero infinito^ esiste una divisione in un 

 numero finito n di parti ^'g tale che se in^, Mg sono i limiti inferiore 



e superiore di f in l'^ è {ìl m, — £ m; | ( | S Tff ^ — S M^X I ) 



11 11 

 minore di un numero e piccolo a piacere. 



(1) Rendiconti Istituto Lombardo 1904 ; questo Bollettino 1903. 



