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Poiché S 'tn^hgj S M^h^^ !ii sono convergenti, scegliamo nn 



00 eo oo ^ 



intero p tale che | E | , | S Ji^ £ siano minori di . 



Poniamo §^ = ^5 per s==l, 2, ai segmenti =: 1, 2,..., j?) 



potremo aggiungere degli altri segmenti li, §^42 ? ^'^ i^i 



n n ^ n 



mero finito tali S = ; sarà I] < - e quindi | S §5 1 < 



1 />^l 14-/^ Pfl 



< _i_ k ^ I 2 ^5 1 < A; ; ricordiamo ora che evidentemente 



/j p /' , , 



S §5 == S w^. , S = 2 Mg ; per le precedenti disugua- 



1 11 ] " 



glianze è dunque | S — S | < | S | + | S m^, | < 



1 1 p+l 



< £ zzT 8. E COSÌ pure | S A/; 0, - 2 Ji, | < 3. 



i-t-«; 1 1 



È dunque senz 'altra chiara, ricorrendo alle solite definizioni, 

 la verità della terza parte del nostro primo teorema. 



Ed è pure evidente 1' ultima parte : infatti scegliamo nella 

 serie di divisioni cotìsiderata , una divisione tale che tutti gli 

 intervalli parziali corrispondenti sieno minori di — e sia il va- 



n 



lore corrispondente di E (E Mg ; servendoci del lemma 



precedente costruiamo una divisione in un numero finito di tratti 

 tale che il valore 0^,^ della corrispondente sommatoria differita da 

 meno della quantità — . Poiché s,^ per i noti teoremi fonda- 

 mentali del calcolo integrale tende a un limite, l' integrale infe- 

 riore (superiore) di / in d , anche p,^ tende a un limite e preci- 

 samente al limite stesso. 



Osserverò che : Le proprietà testé enunciate per V integrale in- 

 feriore (superiore) possono assimiersi come definizione di detti inte- 

 grali 'j e senza alcuna complicazione si possono , partendo da una 

 tale definizione^ dimostrare direttamente i soliti teoremi, (da noi rias- 

 sunti nei precedenti enunciati e dimostrati indirettamente ricor- 

 rendo al caso ben studiato di intervallini parziali in numero fi- 

 nito). L' artificio è sempre lo stesso ; se E (E h^) è una 

 serie effettiva se ne considerano a parte i primi p termini, dove 

 è un intero così grande che il resto della serie, a partire dal 

 ^esimo termine è minore di un numero arbitrario. 



