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Si può così senz' altro seguire p. es. , con pochi caugiamenti 

 di parole, la stessa via , che segue il Jordan nel suo ben noto 

 trattato di calcolo. 



L'unico i)unto non affatto elementare della trattazione sa- 

 rebbe quello, in cui si dimostra che i segmenti ^ formano un in- 

 sieme numerabile; ma l'inconveniente si toglie subito, supponendo 

 « a priori » che i segmenti ^ siano in numero finito o formino 

 un' infinità numerabile. 



Affinchè dunque /' sia integrabile in d è condizione necessaria 

 e sufficiente , che E , Il tendano a uno stesso limite , 



all' impicciolire di ; ossia , detta |-|-| 1' oscillazione di / in 

 (d) j avremo : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè ima funzione finita f 

 sia integrabile m d , è che lim S =: 0 , quando i segmenti 

 tendono contemporaneamente a zero con una legge qualsiasi, sia che 

 nei varii stadii del loro impicciolimento detti segmenti siano in nu- 

 mero finito^ sia che essi sieno in numero iìifinito. 



La parola qualsiasi significa che basta che la coudizione sia 

 soddisfatta con una certa legge di impicciolimento dei segmentini 

 , affinchè sia soddisfatta per qualsiasi altro modo di impiccio- 

 limento. In modo analogo a quanto si fa nei soliti corsi di cal- 

 colo (iU' cui però i segmenti si suppongono in numero finito) 

 si vede che il precedente teorema si può porre sotto la forma 

 seguente : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè f sia integrabile in d 

 è che il gruppo dei punti in cui il salto di f è maggiore di una 

 quantità \ piccola a piacere si possa rinchiudere in un numero fi- 

 nito 0 INFINITO di segmenti la cui somma sia minore di un nu- 

 mero £ piccolo a piacere. 



Dividiamo ora i punti, iu cui f supposta integrabile è even- 

 tualmente discontinua in parecchie classi ponendo ^n una stessa 

 classe, quella iu cui il salto non è maggiore di ^ ? ma è mag- 

 giore di (n essendo un intero qualunque) e rinchiudiamo i 



