Questa equazione, in cui alle , si dieuo valori arbitrarii, 

 e la si consideri come incognita è precisamente del tipo (1) 

 e ammette perciò ahneno unaj e una sola soluzione in generale. 



Con una doppia integrazione ne deduciamo una soluzio- 

 ne di (2). 



Ci basterà ora vedere se può esistere più di una soluzione 

 della (2); osserviamo perciò che se i/^, y.^ sono due soluzioni di 

 (2), allora iS'(?/^ — y_^)=zO e che viceversa se >S'(^) — 0, iS(y^)=:f 

 al 1 ora IS {y^ z) =^ f. 



Per la nostra ciuestione ci basterà dunque cercare quante so- 

 luzioni liiìcarmente indipeudenti possiede la 8 (t/) = 0. Noi dimo- 

 streremo che ne {possiede proprio n : a tal fine osserviamo (uel 

 caso attuale di m^2) che se ^^(1)— 0, IS{x)=z{), il risultato è evi- 

 dente; intatti, i)onendo /'(x)— 0, la {'ó) ci dà in tal caso y"~^ e 

 perciò // — f,, ossia la 8fy)^0 ha le sole due soluzioni in- 



dipendenti 1, y~x (e le loro combinazioni lineari). Se ed 



sono legate da una relazione lineare a >S'(1) -\-^ iS(x) =rO ossia 

 >S (a ^- ./;) = 0 a coefficienti a, ^ costanti, allora la 8 {y)=:0 pos- 

 siede intanto la soluzione a-\^~^x. Scegliendo quindi c^, in guisa 

 che il primo membro della (3) (dove si ponga /(^)~0) non sia 

 nullo, otterremo , con la formula di Fredholm, un valore di y' 

 differente da, zero : il valore corrispondente di y non sarà dunque 

 certamente un polinomio di primo grado, e perciò sarà lineamente 

 indipendente da a-\~[-^x. Oltre alle due soluzioni così trovate della 

 8(y)~0 non ve n' è alcuna altra, da esse linearmente indipendente. 

 Intìne se A'(l), (x) sono linearmente indipendenti, dalla (3), dove 

 si faccia successivamente /' (.r) r= o,, ~ 0, e f {x)zzzc^—{)j otteremo 

 risolvendo due valori di //' linearmente indipendeiiti : e i valori 

 corrispondenti di y saranno pure indii)endenti linearmente; in ogni 

 caso dunque la (2) per m=rO ha oo'* soluzione in generale. Queste 

 soluzioni si possono anche determinare nel modo seguente : 

 Siano i/p /y., y,^ gli integrali indipendenti della Lo 2/ + / + 

 + + Z^, y'"^ = 0 ; ])oniamo 



