Indichiamo con Cf delle costanti arbitrarie e con {x)..... 

 a,^(x) indicliiaiuo quelle funzioni, che si otten«»ono risolvendo le: 



Z ai yi — 0 S Ili 7// z= 0 . . . . S H y^/n-z) — q Z «ìJ/,- "^-D =: 1. 



Avremo : 



y(x) = Ii /' rt, (x)t{x)dx \ y, ix) ~\- ^ a yi (.r) {rj_j 

 Cosicché la (2) si può scrivere : 



dz 



ossia 



ci^''^'^{:x,z)yi{z)dz — l{x) ~l j^'^dr j'''^{x,z) ^ ;v, U) fr) d^ ] / (r). 



(»)uesta uguaglianza, riguardata come ecj unzioiie nel hi nico- 

 gnita tj è del tipo della (1) ; cosicché, col metodo di Fredliolm, 

 se ne può trarre il valore della t(x), donde per mezzo delhi (a) 

 si può dedurre il valor di y (x). 



Tratteremo ora il caso, in cui sia in > 0. Con integrazioni 

 per parti si facciano intanto si)arire sotto il segno di integrale 

 nel secondo membro del hi (2) le successive derivate delhi y. ìaì 

 (2) diventerà un' equazione del tipo : 



f(x) + //,, f/„ (.r) -f y'o (X) -f .... -f .'/(,'" Oni-i //^ //,, [x) + .... -f- 



4- h,n-i {-r) ZZI y + . . . + '^-n //^"^ (^) ' ? (^'',0 V d) dt (1) 



dove con ?/„ , y\ .... , y^ , y\ si indicano i valori della funzio- 

 ne incognita y e delle sue derivate rispettivamente per x zrz a e 

 per xz=ih. Indichiamo con 8 i;y) il secondo membro della (4); e 

 siano Uj , le più generali funzioni tale che 



S {u) —f 8 (Ui) — gì 8 iyi) — h,,. (i — 0, 1, , m - 1) 



In ognuna di esse compariranno n costanti indeterminate: 

 Poniamo yz=zu~^y^ + y\ + ... + y,^"'-'^ %n-i+y, ^'o-f-- + 

 -|-2//"*~^^^V<-i 5 ili questa espressione compariscono oltre le (2?/t-(-l)?i 



