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di convergenza regolare 'per la successione (1)^ V intervallo (a, P) è di 

 convergenza regolare. 



Infatti ogni punto di (a, p) è interno (in senso stretto) ad un 

 segmento di convergenza regolare e quindi esiste, iu virtìi di un 

 teorema di Borei generalizzato da Lebesgue (*), un numero finito 

 di intervalli di convergenza regolare tali che ogni punto di (a, p) 

 è interno (in senso stretto), ad uno di essi. Ma allora esiste un 



numero finito di numeri positivi , K^^ Kp^ tali che in ogni 



punto di (a, p) ogni funzione (1) è in valore assoluto minore di 

 uno di essi. 8e è il più grande di tutti i numeri , . . . 

 Kpj in tutto (a, p) tutte le (1) restano in valore assoluto minori 

 di e quindi (a, p) è un intervallo di convergenza regolare c. d. d. 



§ 2. Il sig. Lebesgue ha dimostrato un teorema che si può 

 enunciare nel modo seguente: 



Se le funzioni (1) sono tutte integrabili (L) (**) e se (a, p) è un 

 intervallo di convergenza regolare^ la successione degli integrali (LJ 

 delle funzioni (1) in (o.^ ^) è ptire convergente, ed il suo limite è Vin- 

 tegrale (L) di f (xj. 



Noi possiamo subito concludere che : 



Se le funzioni (1) sono tutte integrabili (LJ e se tutti i punti 

 di un intervallo fa, pj sono di convergenza regolare, la successione 

 degli integrali (L) delle funzioni (1) in (a, P) è pure convergente ed 

 il suo limite è V integrale {D ài f {x). 



Diffatti allora l'intervallo (a, p) è di convergenza regolare per 

 la successione (1). 



§ 3. Supponiamo ora che le funzioni (1) siano tutte integra- 



la*) V. BoREL. 1. c. pag. 9 e Lebesgue 1. c. pag. 104. Questo teorema di 

 Borei vale poi mauifestameiite se invece di un intervallo (a, 6) si considera un 

 gruppo perfetto qualsiasi. Io ho avuto occasione di dimostrarlo per tali gruppi 

 nella 1^ forma di Borei iu una mia nota. v. G. Vitali. SuìV integrabilità delle 

 funzioni. Rend. del E. Istituto Lombardo. Serie II. Voi. XXXVII. 1904. p. 71, 



O V. BoREL. 1. c. pag. 32. 



