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Se una successione di funzioni di variabile reale, limitate 

 e integrabili {L), converge in un intervallo verso una funzione 

 limitata f{x) e se il gruppo dei suoi punti di convergenza sin- 

 golare è rinchiudibile, condizione necessaria e sufficiente perchè 

 la successione degli integrali (L) di quelle funzioni converga 

 verso r integrale [L] di f(x) è che la successione di detti inte- 

 grali converga verso una funzione i cui rapporti incrementali 

 restino tutti in valore assoluto minori di un numero fisso. 



§ 4. Volendo limitare il nostro risultato agli integrali di Eie- 

 manu noi potremo dire che : 



8e una successione di funzioni di variabile reale limitate e in- 

 tegrabili (B) (*) converge in un intervallo verso una funzione limi- 

 tata f{x), integrabile {B) e se il gruppo dei suoi punti di conver- 

 genza singolare è r inchiudibile ^ condizione necessaria e sufficiente per- 

 chè la successione degli integrali di quelle funzioni converga verso 

 V integrale di f (x) è che la successione di detti integrali converga 

 verso una funzione i cui rapporti incrementali restino in valore as- 

 soluto minori di un numero fisso. 



In particolare : 



8e una successione di funzioni finite e continue di una varia- 

 bile reale converge in modo quasi-uni forme in generale (**) verso una 

 funzione limitata f (x), e se il gruppo dei suoi punti di convergenza 

 singolare è r inchiudibile, condizione necessaria e sufficiente perchè la 

 successione degli integrali di quelle funzioni converga verso V inte- 

 grale di f (x) è che la successione di detti integrali converga verso 

 una funzione i cui rapporti incrementali restino in valore assoluto 

 minori dì un numero fìsso. (***). 



Ed è in questo caso particolare che il risultato ha, a mio 



(*) V. per la notazioue. Borel 1. c. pag. 30. 



V. BoREti 1. c. pag. 45 e Arzblà. Memorie della R. Acc. delle Scienze 

 di Bologna -27 Maggio 1900. 



Questo teorema, nel caso particolare in cui il gruppo di punti di con- 

 vergenza singolare è numerabile è stato dimostrato dall' Arzelà. v. Memoria 

 citata. 



