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M. Pieri ~ SOPRA UNA DEFINIZIONE ARITMETICA 

 DEGLI IRRAZIONALI. 



§ 1. Alludo alla definizione nuovamente proposta da Ber- 

 trand RussEL nel Gap. XXXIII del libro « The principles of 

 Mathematics (Gambridge, 1908) » , ricco d' idee nuove e feconde. 

 Quivi l'A. — premessa, con M. Pasch (*) la nozione di « seg- 

 mento numerico », come « classe non illusoria di razionali (ma 

 non di tutti i razionali) la quale comprenda ciascun razionale 

 minore di qualche elemento della classe, ma non contenga un 

 razionale maggiore di ogni altro elemento della classe » — im- 

 pone, senz'altro, il nome di « numero irrazionale » a qualunque 

 segmento numerico, che non si componga di tutti i razio- 

 nali minori di un razionale dato a piacere {Loc. cit. pag. 286). 

 Questa definizione nominale — già suggerita esplicitamente dal 

 Pasch (loc. cit. , pag. 4 e 11) — presenta su qualche altra il 

 vantaggio di implicare ipso facto 1' esistenza del « definito » : ma 

 nondimeno, così come sta — nella forma sua genuina, che invol- 

 ge l'identificazione pura e semplice di ciascun numero irra- 

 zionale con una certa classe di razionali — va soggetta a qual- 

 che objezione, che merita d' esser rilevata e possibilmente ri- 

 mossa. 



Parecchie difficoltà furon già segnalate in proposito dal pro- 

 fessor G. Peano in un articolo « 8ui numeri irrazionali » (Rivi- 

 sta di Matematica, v. VI, 1899, pag. 133-34) : dove, trattandosi 

 appunto la nozione del segmento numerico, mostravasi per 

 via d'esempi che i concetti di * segmento » e di « numero 

 reale » non si comportano allo stesso modo di fronte a molte 

 operazioni (non hanno le stesse proprietà) ; e si concludeva, che 

 fosse bensì possibile costruire una compiuta teoria degli irrazio- 

 nali parlando sempre di « segmenti », ma che le formule (a chi 

 voglia escludere ogni ambiguità) si presentano allora sotto una 

 forma alquanto diversa dall'uso ordinario dell' Algebra. — Altre 



(*) Einleitung in die Differential — und Integrai Eechnung, Leipzig, 1882. 



