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objezioui — tutto che, in fondo, non molto dissimili a quelle — 

 si fanno innanzi a chiunque mediti un poco sull' argomento. 



Poniamo, ad es., che y sia una funzione di Xj che per ogni 

 valor razionale positivo della variabile è uguale ad ax (a essendo 

 un razionale positivo dato a piacere). Allora, ogni volta che x de- 

 scrive un segmento numerico, il simile avverrà della y; per la 

 qual cosa, accettando la definizione in parola, bisognerebbe conclu- 

 dere che una funzione sì fatta deve assumer n eces sari amen te un 

 valore reale e determinato per qualunque valore reale positivo attri- 

 buito alla variabile : e questo è contrario al concetto generale di 

 funzione, o rappresentazione. E dovendosi poi concepire anche 

 il numero reale- razio na 1 e come un segmento numerico {ivi) , 

 non potremmo avere ad es., l'eguaglianza 2 =: /z^^; visto che l'o- 

 perazione f/^ non trasforma il segmento dei razionali minori di 

 4 nel segmento dei razionali minori di 2. 



Ancora. Fra due rette complesse, r, r interceda una cor- 

 rispondenza armonica — vale a dire una r/r reciproca, 

 che a ciascun gruppo armonico coordini un gruppo armonico. 

 Se ai punti distinti a, b, e della r corrispondono i punti a, b\ c', 

 si sa che a ciascun punto della scala armonica generata dai 

 punti (X, 6, c corrisponde un punto della scala armonica generata 

 dai punti a', b\ e'; e quindi a ciascun punto razionale della 

 catena abc (tolti a, b, c rispettiv.^ come punti fondamentali 0, 1, oo ) 

 un j)unto eziandio razionale della catena ab'c\ e a punti (razio- 

 nali) dell'una ordinati secondo il criterio naturale a b c, punti del- 

 V altra ordinati secondo il criterio naturale a b c\ In virtìi della 

 definizione impugnata ne verrebbe, che anche i punti irrazionali 

 dell' una corrisponderebbero a qnelli dell' altra catena secondo la 

 data trasformazione armonica : e per conseguenza qualunque tra- 

 sformazione armonica d'una retta complessa in un'altra muterebbe 

 le catene in catene. Ora una proposizione sì fatta (che avrebbe 

 molta importanza in Geometria Projettiva) non fu mai dimostrata 

 fin qui, per quanto sia stata oggetto di molte ricerche (*) : ed è 

 legittimo il dubbio, che la sua verità non possa dipender soltan- 

 to da una semplice determinazione del concetto di punto irra- 



