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X 



lement , parce qu'elle ne contiendra d'abord qu'une 

 feule fluxion , par laquelle on pourra la divil'er ; & 

 cette équation en fluentes étant combinée avec la 

 propofée pour faire difparoître une de leur varia- 

 ble, donnera une réfultante déterminée, d'où l'on 

 tirera , félon qu'on le jugera à-propos , ou la poû- 

 tion du maximum cherché , ou fa quantité. Eclair- 

 cifTons cette méthode par deux exemples. 



Nous fuppoferons dans le premier , qu'il s'agit de 

 déterminer les plus grandes ou plus petites ordon- 

 nées d'une courbe algébrique. Puifque dans les cour- 

 bes qui ont un maximum ou minimum, la tangente 

 T M change enfin en D E , &c devient parallèle à 

 l'axe. Pl. d'AnaLfig. 4 & zà. Ilfaut donc que dans le 

 cas du maximum ou duOTim/;2///7z la foutangente P T 

 devienne infinie. Mais cette foutangente PT = 

 ■^;donc^= oo,c'eft-àdireCau . moins r reliant fini, 

 ce qui fait le feul cas du maximum ou minimum pro- 

 prement dit) que dx— <yz par rapport à ^/y, ou bien 

 que dy — 0 par rapport à dx. Nous prendrons donc l'é- 

 quation des fluxions de la propofée,&négHgeanttous 

 les termes affeûés de dy , que nous devons faire 

 en effet =0, nous diviferons les autres termes par la 

 feule fluxion dx qu'ils contiendront , & nous fe- 

 rons de plus ce quotient de cette divifion égal à 

 zéro ; cela donnera une nouvelle équation fluente 

 à comparer avec la propofée, pour en tirer au 

 inoyen de leurs réduàions en une feule, une ré- 

 fultante en Jt; ou en j feulement, félon qu'on l'ai- 

 mera le mieux , laquelle fervira à découvrir ou la 

 valeur de x convenable au maximum ou minimum 

 cherché , ou bien la valeur elle-même de ce maxi- 

 mum ou minimum ; fauf à employer , lorfque les cir- 

 confiances indiqueront de le faire , des mo3^ens 

 abrégés au lieu de la réduftion de deux équations 

 en une feule. 



Suppofons en fécond lieu , qu'il faille couper une 

 droite A B { fig. 6'. ) au point D , de manière que 

 le reâangle des deux parties A D &c D B Çq. trou- 

 ve être le plus grand qu'il foit pofllble de conflruire 

 (de la forte. Nous nommerons A B ^ a , A D ^ x ; 

 B D fera donc a — x^ AD x D B = ax —"'xx 

 fera la quantité qui doit être \m maximum; fa diflé- 

 rentielle ou fa fluxion doit donc être = o ; or fi nous 

 nommons y la quantité variable qui doit devenir 

 tm maximum , nous aurons en 



général a x — x x = y. 



I)ont l'équation de fluxion fera a dx — xxdx — dy^ 

 Et négligeant ij' qui efl — o , adx — zx dxzno. 

 Et par confequent .... — 2 ;c =: o. 

 Ou bien enfin . . . . . x = \ a. ^ 

 De forte qu'il n'y a, pour réfoudre le problème , 

 fju'à couper la ligne A B Qn deux parties égales ; 

 donc le quarré de la moitié dQ A B plus grand 

 que tout le redangle qu'on pourroit faire de deux 

 autres parties quelconques de lefquelles pri- 



ses enfemble feroient égaies k A B. 



On trouve da.ns les Mém. deVacad. des Sciences de 

 Paris de 1706 un mémoire de Guifnée , qui con- 

 îient plufieurs éclairciffemens fur cette méthode. 

 Ce mémoire , qui peut être utile à certains égards , 

 ri'efl pas exempt d'erreiurs. Elles ont été relevées par 

 M. Saurin , dans un mémoire imprimé en 1723. 



La méthode de maximis & minimis eft fondée fur 

 un principe bien Ample. Quand une quantité va 

 .d'abord en croiflTant , & enluite en décroifl'ant , fa 

 différence eft d'abord politive , & enfuite négative ; 

 fi'eft le contraire fi elle va d'al)ord en décroiflant, 

 ^ enfuite en croifl^ant : or une quantité qui palTe du 

 jjofiîif.au négatif, ou du négatif au pofitif , doit dans 

 le palTage être = o ou = à l'infini. Le pafl^a^e par 

 zéro eft le plus ordinaire ; c'eft pour cela que la rè- 

 gle la plus commune pour trouyeî les maxima ^i les 



minima , eft de faire la différentielle = 0 ; maïs iî y 

 a auffi des cas oîi il faut faire la difrérentielle = co. 

 Il eft vrai que dans ces derniers cas il y a de pUis 

 un point de rebrouflement à l'endroit du maximum- 

 ou du minimum, f^oye^fig. i. Ainfi on peut dire que 

 les vrais points de maximum ou de minimum conft- 

 dérés comme des points fimpies & qui n'ont aucune 

 autre propriété , lont ceux où dy = o. 



Cependant le cas de dy =: o ne doime pas nécef- 

 falrement un maximum ou un minimum ; car dy=.o 

 indique feulement que la tangente eft parallèle à 

 l'axe , comme dy=. co indique feulement que la tan- 

 gente eft perpendiculaire à ce même axe. Or fi le 

 point où la tangente eft parallèle à l'axe, étoit un 

 point d'inflexion , comme cela peut arriver dans plu- 

 fleurs cas, alors il eft aifé de voir que l'ordonnée paf- 

 fant par le point oi\dy—o, ne feroit ni un maximum 

 ni un minimum. Pour éclaircir ces diflicuhés, fup- 



pofons t ^ imaginons une nouvelle courbe 



qui ait Z pour ordonnée, ôi pour abfciifes les ab- 

 fcifîesXde la première. On remarquera que pour 

 qu'il y ait un maximum ou un minimum au point 

 où o , il faut que les ordonnées { au-defl'us & au- 

 deflbus de ce point, foient de diflerens fignes ; c'eft- 

 à-dire que fi on tranfporte en ce point l'origine des 

 coordonnées, voye^ Courbes h Transforma- 

 tion DES Axes, &: qu'on nomme les coordonnées 

 nouvelles &; / , au lieu de a: & { , il faut que l'équa- 

 tion en « & en foit telle que quand u eft infini- 

 ment petite , foit pofltive , foit négative , on ait 

 um—Atn^m^ u étant des nombres entiers po- 

 fitifs ôc impairs, voyc:;^ Rebroussement : or cela 

 fepeut reconnoître parla règle du parallélogramme 

 de M. Newton. Foye^ SÉRIE ou Suite, & Paral- 

 lélogramme. 



Dans tout autre cas que celui des nombres m St 

 n impairs , le point où { = 0 ne fera point un maxi- 

 mum : de plus pour diftinguer fl ce point donne un 

 maximum ou un minimum , il n'y a q't'à voir fi { eft: 

 pofitif ou négatif avant d'être =:::o. Dans le premier 

 cas l'ordonnée fera un maximum ; elle fera un mini- 

 mum dans le fécond : or le premier cas aura lieu fi 

 A eft négatif, & le fécond s'il eft pofitif. 



Voilà pour le calcul de dy—o^ A l'égard du cal- 

 cul de ûfjy = 00 , nous obferverons d'abord que c'eft 

 une façon de parler très^im propre, que de faire une 

 différentielle — 00, puifqu'une différentielle eft une 

 quantité infiniment petite , ou confidérée comme 

 telle. Foyei_ Différentielle. Ce n'eft point 

 qu'on fait — 00 ; c'eft le rapport dQd y à. d x ou ^ : 

 or dans ce cas il faut que l'équation en u 6c en f , 

 foit telle que quand u eft infiniment petite , foit po- 

 fltive , foit négative , on aïi u m = A s m expri- 

 mant un nombre négatif impair , &C n un nombre 

 pofitif impair. Foye^ BRANCHE. 



Nous ne faifons ici que donner Fefprit de la mé- 

 thode. Ceux qui defireront un plus grand détail, 

 peuvent recourir à l'analyfe des courbes de M. Cra- 

 mer, où cette matière eft bien traitée. Fcyci U ch, 

 xj. de cet ouvrage. Souvent au refte la nature du 

 problème feul, fans aucune autre confidération, in- 

 dique fl dyzz.0 ^ dohne réellement un point de ma- 

 ximum ou de minimum , & fi c'eft le premier -cas ou 

 le fécond. Par exemple , fl on propofe de trouvée 

 un point dans un demi-cercle, tel que le produit des 

 deux lignes menées de ce point aux extrémités du 

 diamètre , foit un maximum , on voit bien que la fo- 

 iution de ce problème donnera en effet un maximum^ 

 & de plus que ce fera un maximum , &: non pas urt 

 minimum ; caria quantité qu'on cherche eft évidem- 

 ment égaie à o à chacune des deux extrémités du 

 diamètre ; & cette quantité eft toujours réelle entre 

 ces deux extrémités : donc il y a un ou plufieurs 

 points où^Ue eft né ceifair email dans la plus gran ' 



ae 



valeur 



